Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em
.
Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
Passo 1
Estamos diante da EDO
em torno de
. O conteúdo é ponto singular e método de Frobenius: vamos colocar na forma padrão, verificar a regularidade em zero, obter a equação indicial e, por fim, a série em potências (pelo menos 6 termos não nulos).
Passo 2
Dividindo tudo por
chegamos a
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Passo 3
Procuramos uma solução do tipo
. Calculando
e substituindo na EDO, igualando os coeficientes de , o termo de menor ordem (
) dá a equação indicial
e substituindo na EDO, igualando os coeficientes de
cuja solução é
Passo 4
Para
a recorrência resulta em
[a_n\bigl[(n+r)(n+r-1)+\tfrac29\bigr]-a_{n-1}=0
\quad\Longrightarrow\quad
a_n=\frac{a_{n-1}}{(n+r)(n+r-1)+\tfrac29}.
\quad\Longrightarrow\quad
a_n=\frac{a_{n-1}}{(n+r)(n+r-1)+\tfrac29}.
Passo 5
Tomando
, nota-se que
daí
Escolhendo
para simplificar, obtemos
Passo 6
Para
, a mesma conta mostra que
escolhendo
gera
Resposta
A solução geral em série de Frobenius em torno de
é