Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x0.
Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
x^2 y^prime prime-(x-29) y=0, x0=0

Passo 1

Estamos diante da EDO x^2y''-(x-tfrac29)y=0 em torno de x0=0. O conteúdo é ponto singular e método de Frobenius: vamos colocar na forma padrão, verificar a regularidade em zero, obter a equação indicial e, por fim, a série em potências (pelo menos 6 termos não nulos).

Passo 2

Dividindo tudo por x^2 chegamos a
y'' - x-tfrac29x^2,y = 0
Logo P(x)=0 e Q(x)=-tfrac1x+tfrac29x^-2. Como xP(x)=0 e x^2Q(x)=-x+tfrac29 são funções analíticas em x=0, concluímos que x=0 é ponto singular regular.

Passo 3

Procuramos uma solução do tipo y=sumn=0^infty an x^n+r. Calculando
y''=sum an(n+r)(n+r-1)x^n+r-2
e substituindo na EDO, igualando os coeficientes de x^n+r, o termo de menor ordem ( n=0) dá a equação indicial
r(r-1)+tfrac29=0
cuja solução é r=tfrac23 ou r=tfrac13.

Passo 4

Para n>=1 a recorrência resulta em
[a_n\bigl[(n+r)(n+r-1)+\tfrac29\bigr]-a_{n-1}=0
\quad\Longrightarrow\quad
a_n=\frac{a_{n-1}}{(n+r)(n+r-1)+\tfrac29}.

Passo 5

Tomando r=tfrac23, nota-se que
(n+tfrac23)(n-tfrac13)+tfrac29=nl(n+tfrac13r),
daí
an=an-1n(n+tfrac13)
Escolhendo a0=1 para simplificar, obtemos
a1=tfrac34, a2=tfrac956, a3=tfrac9560, a4=tfrac2729120, a5=tfrac812329600,\nportanto

Passo 6

Para r=tfrac13, a mesma conta mostra que
(n+tfrac13)(n-tfrac23)+tfrac29=nl(n-tfrac13r) Longrightarrow an=an-1n(n-tfrac13),
escolhendo a0=1 gera
a1=tfrac32, a2=tfrac920, a3=tfrac9160, a4=tfrac277040, a5=tfrac81492800,\nlogo

Resposta

A solução geral em série de Frobenius em torno de x0=0 é

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