Sejam x, y, z in R tais que x >= y e z neq 0. Diga se cada item a seguir é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta:
[0,5]|x| >=|y| ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três números reais com as condições e . A questão nos apresenta a inequação e nos pede para dizer se essa afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a resposta. Para resolver isso, vamos analisar as propriedades das desigualdades e dos valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número, 0,5|x| >= |y| , representa a distância desse número até zero na reta numérica, sempre sendo um valor não negativo.
A inequação que temos é:
Queremos saber se, dadas as condições e , essa inequação sempre será verdadeira.
Vamos analisar diferentes cenários:
  1. Caso 1: Se for positivo e também for positivo.
    • Como , temos e .
    • Substituindo na inequação: .
    • Podemos ter casos onde isso não é verdadeiro. Por exemplo, se e , então não é maior ou igual a 2.
  2. Caso 2: Se for negativo.
    • O valor absoluto de será (já que é negativo).
    • Como , mas é negativo, pode ser positivo ou negativo.
    • Mesmo assim, podemos encontrar valores de e que não satisfazem a inequação. Por exemplo, se e , temos que não é maior ou igual a 1.
Esses exemplos mostram que a inequação nem sempre é verdadeira, mesmo com as condições dadas.

Resposta

Falso. A inequação nem sempre é satisfeita sob as condições e .

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