Mostre que a equação
possui uma única raiz no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa mostrar que a equação
tem apenas uma solução no intervalo
. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo, como o Teorema do Valor Intermediário e a ideia de funções monotônicas. Vamos dar um passo de cada vez!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teorema do Valor Intermediário. Ele diz que se uma função
é contínua em um intervalo
e o valor zero está entre
e
, então existe pelo menos um ponto
em
onde
. Isso nos ajuda a garantir que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é contínua no intervalo
. Geralmente, funções que não têm quebras, buracos ou saltos são contínuas. Se
é uma dessas funções legais, então podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar os valores de
nos extremos do intervalo:
e
. Se
e
têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), isso significa que a função cruzou o eixo x em algum ponto entre 1 e
, garantindo pelo menos uma raiz.
Passo 5
Para garantir que essa raiz seja única, vamos analisar a monotonicidade da função. Se
for estritamente crescente ou estritamente decrescente no intervalo
, isso significa que a função só pode cruzar o eixo x uma vez. Ou seja, só há uma única solução para
nesse intervalo.
Passo 6
Resumindo:
-
é contínua em . -
e têm sinais opostos, garantindo pelo menos uma raiz por causa do Teorema do Valor Intermediário. -
é monotônica (ou seja, sempre aumentando ou sempre diminuindo) no intervalo, o que garante que essa raiz é única.
Resposta
Portanto, a equação
possui uma única raiz no intervalo
.