Mostre que a equação f(x)=0 possui uma única raiz no intervalo [1, e].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa mostrar que a equação tem apenas uma solução no intervalo . Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo, como o Teorema do Valor Intermediário e a ideia de funções monotônicas. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teorema do Valor Intermediário. Ele diz que se uma função é contínua em um intervalo e o valor zero está entre e , então existe pelo menos um ponto em onde . Isso nos ajuda a garantir que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é contínua no intervalo . Geralmente, funções que não têm quebras, buracos ou saltos são contínuas. Se é uma dessas funções legais, então podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar os valores de nos extremos do intervalo: e . Se e têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), isso significa que a função cruzou o eixo x em algum ponto entre 1 e , garantindo pelo menos uma raiz.

Passo 5

Para garantir que essa raiz seja única, vamos analisar a monotonicidade da função. Se for estritamente crescente ou estritamente decrescente no intervalo , isso significa que a função só pode cruzar o eixo x uma vez. Ou seja, só há uma única solução para nesse intervalo.

Passo 6

Resumindo:
  1. é contínua em .
  2. e têm sinais opostos, garantindo pelo menos uma raiz por causa do Teorema do Valor Intermediário.
  3. é monotônica (ou seja, sempre aumentando ou sempre diminuindo) no intervalo, o que garante que essa raiz é única.

Resposta

Portanto, a equação possui uma única raiz no intervalo .

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