(a) Mostre que a equação \frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime}}=\frac{1}{f} pode ser escrita na forma s^{\prime}=s f /(s-f) e, portanto , a ampliação transversal, dada pela equação m=\frac{y^{\prime}}{y}=-\frac{s^{\prime}}{s}, pode ser escrita na forma m=f /(f-s). (b) Considere um espelho côncavo para o qual f>0 e suponha que s>f (ou seja, que o objeto esteja para fora do foco). Mostre que a distância da imagem s^{\prime} é positiva e explique por que isso significa que a imagem é real. Mostre também que a imagem é invertida. (c) Demonstre que se a distância do objeto s>2 f a imagem é menor do que o objeto e que, se f<s<2 f, a imagem é maior do que o objeto. (d) Para um espelho côncavo mostre que, se 0<s<f (objeto entre o foco e o vértice), a distância da imagem s^{\prime} é negativa. Explique porque isso significa que a imagem é virtual. Mostre também que a imagem é ereta e maior do que o objeto.

Passo 1

O enunciado trata da ótica geométrica de espelhos esféricos, em particular espelho côncavo, usando a equação dos focos e a ampliação transversal. Vamos precisar da equação de Gauss para espelhos
\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}
e da definição de ampliação
m = \frac{y'}{y} = -\frac{s'}{s}.
Com isso, faremos uma manipulação algébrica para obter fórmulas para s' e m e depois analisaremos o sinal e o módulo dessas grandezas nas diferentes posições do objeto.

Passo 2

(a) Partindo de
\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f},
multiplicamos tudo por s s' f para eliminar denominadores:
s' f + s f = s s'.
Agrupando os termos com s' no mesmo lado, vem
s s' - s' f = s f \quad\Longrightarrow\quad s'\,(s - f) = s f \quad\Longrightarrow\quad
s' = \frac{s\,f}{s - f}.
Agora, para a ampliação usamos
m = -\frac{s'}{s} = -\frac{1}{s}\,\frac{s\,f}{s - f} = -\frac{f}{s - f} = \frac{f}{f - s}.

Passo 3

(b) Em um espelho côncavo temos f>0. Se o objeto está além do foco, s>f, então s-f>0 e da expressão
s' = \frac{s\,f}{s - f}
vemos que s'>0. Isso significa que a imagem se forma do lado de onde vêm os raios refletidos (lado real do espelho), logo a imagem é real. Além disso
m = \frac{f}{f - s},
como f-s<0, m<0. Um m negativo indica que a imagem está invertida em relação ao objeto.

Passo 4

(c) Para comparar tamanhos basta olhar o módulo de m. Quando s>f temos
|m| = \frac{f}{\,|f - s|\,} = \frac{f}{s - f}.
Se s>2f, então s-f>f e
|m| = \frac{f}{s - f} < 1,
logo a imagem é menor que o objeto. Se f<s<2f, então s-f<f e
|m| = \frac{f}{s - f} > 1,
ou seja, a imagem é maior que o objeto.

Passo 5

(d) Se o objeto estiver entre o foco e o vértice, 0<s<f, então s-f<0 e
s' = \frac{s\,f}{s - f} < 0.
Um s' negativo indica que a imagem está atrás do espelho (não há formação física de raios refletidos ali), ou seja, a imagem é virtual. Além disso
m = \frac{f}{f - s},
agora f-s>0 e como f-s<f (pois s>0), obtemos m>1. Um m positivo e maior que 1 significa que a imagem é ereta e maior que o objeto.

Resposta

(a)
s' = \frac{s\,f}{s - f}, \quad m = \frac{f}{f - s}.
(b) Para s>f tem-se s'>0 (imagem real) e m<0 (imagem invertida).
(c) Se s>2f então |m|<1 (imagem menor); se f<s<2f então |m|>1 (imagem maior).
(d) Se 0<s<f então s'<0 (imagem virtual), m>0 (imagem ereta) e |m|>1 (imagem maior).

Exercícios relacionados