(a) Mostre que a equação
pode ser escrita na forma
e, portanto , a ampliação transversal, dada pela equação
, pode ser escrita na forma
. (b) Considere um espelho côncavo para o qual
e suponha que
(ou seja, que o objeto esteja para fora do foco). Mostre que a distância da imagem
é positiva e explique por que isso significa que a imagem é real. Mostre também que a imagem é invertida. (c) Demonstre que se a distância do objeto
a imagem é menor do que o objeto e que, se
, a imagem é maior do que o objeto. (d) Para um espelho côncavo mostre que, se
(objeto entre o foco e o vértice), a distância da imagem
é negativa. Explique porque isso significa que a imagem é virtual. Mostre também que a imagem é ereta e maior do que o objeto.
Passo 1
O enunciado trata da ótica geométrica de espelhos esféricos, em particular espelho côncavo, usando a equação dos focos e a ampliação transversal. Vamos precisar da equação de Gauss para espelhos
e da definição de ampliação
Com isso, faremos uma manipulação algébrica para obter fórmulas para
e
e depois analisaremos o sinal e o módulo dessas grandezas nas diferentes posições do objeto.
Passo 2
(a) Partindo de
multiplicamos tudo por
para eliminar denominadores:
Agrupando os termos com
no mesmo lado, vem
Agora, para a ampliação usamos
Passo 3
(b) Em um espelho côncavo temos
. Se o objeto está além do foco,
, então
e da expressão
vemos que
. Isso significa que a imagem se forma do lado de onde vêm os raios refletidos (lado real do espelho), logo a imagem é real. Além disso
como
,
. Um
negativo indica que a imagem está invertida em relação ao objeto.
Passo 4
(c) Para comparar tamanhos basta olhar o módulo de
. Quando
temos
Se
, então
e
logo a imagem é menor que o objeto. Se
, então
e
ou seja, a imagem é maior que o objeto.
Passo 5
(d) Se o objeto estiver entre o foco e o vértice,
, então
e
Um
negativo indica que a imagem está atrás do espelho (não há formação física de raios refletidos ali), ou seja, a imagem é virtual. Além disso
agora
e como
(pois
), obtemos
. Um
positivo e maior que 1 significa que a imagem é ereta e maior que o objeto.
Resposta
(a)
(b) Para
tem-se
(imagem real) e
(imagem invertida).
(c) Se então
(imagem menor); se
então
(imagem maior).
(d) Se então
(imagem virtual),
(imagem ereta) e
(imagem maior).
(c) Se
(d) Se