Mostre que a equação do gás ideal
pode ser escrita nas formas alternativas: (a)
, sendo
a densidade de massa do gás e
a massa molar; (b)
, sendo
o número de partículas do gás (átomos ou moléculas).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a equação dos gases ideais,
, pode ser reescrita de duas maneiras diferentes:
a) , onde
é a densidade de massa do gás e
é a massa molar;
b) , onde
é o número de partículas do gás (átomos ou moléculas).
a)
b)
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de química e física, como densidade, massa molar, número de partículas e as relações entre eles.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Queremos expressar a pressão
em termos da densidade
, constante dos gases
, temperatura
e massa molar
.
Sabemos que a densidade
é definida como a massa
dividida pelo volume
:
Também, o número de mols
é a massa
dividida pela massa molar
:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Passo 3
Agora, vamos substituir esse valor de
na equação dos gases ideais
:
Simplificando os
de ambos os lados:
Assim, mostramos a forma alternativa (a).
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Queremos relacionar a pressão
, volume
, número de partículas
, constante de Boltzmann
e temperatura
.
Sabemos que o número de mols
está relacionado ao número de partículas
pela constante de Avogadro
:
Além disso, a constante dos gases
está relacionada à constante de Boltzmann pela relação:
Passo 5
Substituindo
na equação dos gases ideais
:
Agora, substituímos
por
:
Os
se cancelam:
E assim, mostramos a forma alternativa (b).
Resposta
Conseguimos reescrever a equação dos gases ideais nas duas formas alternativas solicitadas:
a) ;
b) .
a)
b)