- Use polinômios interpoladores de Newton ou Lagrange (Graus 2 e 3) determinar
em
. Calcule as diferenças divididas finitas e ordene seus pontos para obter acurácia e convergência ótimas; ou seja, os pontos devem ser concentrados em torno e tão próximo quanto possível do valor desconhecido.
X | 0,0 | 1,0 | 2,5 | 3,0 | 4,5 | 5,0 | 6,0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Y | 2,0000 | 5,4375 | 7,3516 | 7,2625 | 8,4453 | 9,1875 | 12,0000 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
quando
usando polinômios interpoladores de Newton ou Lagrange, de grau 2 e 3. Para isso, vamos usar as diferenças divididas finitas e escolher os pontos mais próximos de
para garantir que a nossa aproximação seja bem precisa. Vamos precisar entender um pouquinho sobre interpolação polinomial e como calcular essas diferenças divididas.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher os pontos que vamos usar para a interpolação. Como queremos
, vamos selecionar os pontos mais próximos desse valor para garantir maior precisão. Olhando na tabela, os pontos mais próximos são:
Vamos usar esses quatro pontos para construir um polinômio de grau 3 (já que queremos até grau 3).
Passo 3
Agora, vamos calcular as diferenças divididas finitas necessárias para construir o polinômio de Newton. As diferenças divididas ajudam a determinar os coeficientes do polinômio. A tabela de diferenças fica assim:
Passo 4
Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio de Newton da forma:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na equação do polinômio para encontrar
:
Calculando cada termo:
Resposta
O valor aproximado de
em
é 7,012.