Mostre que a equação de Hamilton-Jacobi (9.2.1) para uma partícula livre unidimensional é separável na forma de produto, isto é, admite soluções da forma
. Usando esta técnica de separação de variáveis, obtenha uma integral completa e, a partir dela, a solução geral da equação de movimento para
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que a equação de Hamilton–Jacobi para uma partícula livre unidimensional,
é separável na forma de produto
. Em seguida, usando essa separação de variáveis, devemos encontrar uma integral completa
e, a partir dela, obter a solução geral
do movimento.
Passo 2
Supondo
temos
Substituindo na equação de Hamilton–Jacobi,
Passo 3
Para separar variáveis dividimos por
:
Como o primeiro termo depende só de
e o segundo só de
, cada um deve ser igual a uma constante, digamos
, com sinais opostos:
Passo 4
Resolvendo para
:
Passo 5
Resolvendo para
:
Integrando em
:
Passo 6
O produto
dá a integral completa com três constantes
:
Podemos reparametrizar para usar apenas duas constantes independentes (por ex. ajustando a origem de
), mas a forma geral acima já é uma integral completa.
Passo 7
Para extrair a solução do movimento usamos a integral completa como geradora de transformação canônica. Em particular, fixando
como constante, temos
logo
que é uma relação linear em
. Reagrupando,
onde
e
são constantes de integração.
Resposta
A equação de movimento geral é
i.e., movimento uniformemente retilíneo com velocidade constante
.