Mostre que a equação de Hamilton-Jacobi (9.2.1) para uma partícula livre unidimensional é separável na forma de produto, isto é, admite soluções da forma S(q, t)= W(q) T(t). Usando esta técnica de separação de variáveis, obtenha uma integral completa e, a partir dela, a solução geral da equação de movimento para q(t).

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que a equação de Hamilton–Jacobi para uma partícula livre unidimensional,
\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m}\Bigl(\frac{\partial S}{\partial q}\Bigr)^{2} = 0,
é separável na forma de produto S(q,t)=W(q)\,T(t). Em seguida, usando essa separação de variáveis, devemos encontrar uma integral completa S(q,t;\text{constantes}) e, a partir dela, obter a solução geral q(t) do movimento.

Passo 2

Supondo
S(q,t)=W(q)\,T(t),
temos
\frac{\partial S}{\partial t}=W(q)\,T'(t), \quad \frac{\partial S}{\partial q}=W'(q)\,T(t).
Substituindo na equação de Hamilton–Jacobi,
W\,T' + \frac{1}{2m}\bigl(W'\,T\bigr)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad W(q)\,T'(t) + \frac{T(t)^{2}}{2m}\,W'(q)^{2}=0.

Passo 3

Para separar variáveis dividimos por W\,T^{2}:
\frac{T'}{T^{2}} + \frac{W'^{2}}{2m\,W} = 0.
Como o primeiro termo depende só de t e o segundo só de q, cada um deve ser igual a uma constante, digamos k, com sinais opostos:
\frac{T'}{T^{2}} = -k, \qquad \frac{W'(q)^{2}}{2m\,W(q)} = k.

Passo 4

Resolvendo para T(t):
\frac{T'}{T^{2}} = -k \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{T} = -\,k\,t + C_{2} \quad\Longrightarrow\quad T(t) = \frac{1}{k\,t + C_{2}}.

Passo 5

Resolvendo para W(q):
W'^{2} = 2m\,k\,W \quad\Longrightarrow\quad \frac{W'}{\sqrt{W}} = \sqrt{2m\,k}.
Integrando em q:
2\,\sqrt{W(q)} = \sqrt{2m\,k}\;q + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad W(q) = \Bigl(\tfrac{\sqrt{2m\,k}}{2}\,q + \tfrac{C_{1}}{2}\Bigr)^{2}.

Passo 6

O produto S=W\,T dá a integral completa com três constantes k,C_{1},C_{2}:
S(q,t) = \frac{\Bigl(\tfrac{\sqrt{2m\,k}}{2}\,q + \tfrac{C_{1}}{2}\Bigr)^{2}}{k\,t + C_{2}}.
Podemos reparametrizar para usar apenas duas constantes independentes (por ex. ajustando a origem de t), mas a forma geral acima já é uma integral completa.

Passo 7

Para extrair a solução do movimento usamos a integral completa como geradora de transformação canônica. Em particular, fixando \displaystyle\Phi=\frac{\partial S}{\partial C_{1}} como constante, temos
\frac{\partial S}{\partial C_{1}} =\frac{1}{2(k\,t + C_{2})}\,\bigl(\sqrt{2m\,k}\,q + C_{1}\bigr) =\Phi,
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\sqrt{2m\,k}\,q + C_{1} = 2\,\Phi\,(k\,t + C_{2}),
que é uma relação linear em t. Reagrupando,
q(t) = \frac{2\,\Phi\,k}{\sqrt{2m\,k}}\,t + \frac{2\,\Phi\,C_{2}-C_{1}}{\sqrt{2m\,k}} \;=\; V\,t + q_{0},
onde V e q_{0} são constantes de integração.

Resposta

A equação de movimento geral é
q(t) = q_{0} + \frac{p_{0}}{m} \cdot t,
i.e., movimento uniformemente retilíneo com velocidade constante \frac{p_{0}}{m}.

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