Considere o problema de Kepler no plano, isto é, uma partícula de massa m no potencial V(r)=k / r, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Obtenha a equação de Hamilton-Jacobi em termos das variáveis u=r+x, v=r-x e encontre uma integral completa. Determine a equação da órbita da partícula em termos das coordenadas (u, v).
Passo 1
O problema pede usar a equação de Hamilton–Jacobi para a partícula de massa m sujeita ao potencial
V(r)=\frac{k}{r},\quad r=\sqrt{x^2+y^2},
e mudar para as coordenadas parabólicas do plano
u=r+x,\quad v=r-x.
O objetivo é mostrar que a equação de Hamilton–Jacobi se separa em u,v, encontrar a integral completa S(u,v,t) e, a partir dela, obter a equação da órbita em termos de (u,v). Vamos precisar do fator de métrica em (u,v), escrever a equação de Hamilton–Jacobi
multiplicamos ambos os lados por 1+e\cos\theta e reescrevemos em (u,v). Usando \cos\theta=(u-v)/(u+v) e r=(u+v)/2, obtém-se a equação da órbita em coordenadas parabólicas: