Considere o problema de Kepler no plano, isto é, uma partícula de massa m no potencial V(r)=k / r, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Obtenha a equação de Hamilton-Jacobi em termos das variáveis u=r+x, v=r-x e encontre uma integral completa. Determine a equação da órbita da partícula em termos das coordenadas (u, v).

Passo 1

O problema pede usar a equação de Hamilton–Jacobi para a partícula de massa m sujeita ao potencial
V(r)=\frac{k}{r},\quad r=\sqrt{x^2+y^2},
e mudar para as coordenadas parabólicas do plano
u=r+x,\quad v=r-x.
O objetivo é mostrar que a equação de Hamilton–Jacobi se separa em u,v, encontrar a integral completa S(u,v,t) e, a partir dela, obter a equação da órbita em termos de (u,v). Vamos precisar do fator de métrica em (u,v), escrever a equação de Hamilton–Jacobi
H\Bigl(x,y,\partial_xS,\partial_yS\Bigr)+\partial_tS=0
em (u,v), separar as variáveis, integrar e usar a segunda constante de separação para relacionar u e v.

Passo 2

Expressamos o elemento de comprimento ds^2=dx^2+dy^2 em (u,v). Como
x=\frac{u-v}{2},\quad y^2=uv,
temos
dx=\frac{du-dv}{2},\quad dy=\frac{1}{2\sqrt{uv}}\bigl(v\,du+u\,dv\bigr),
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ds^2 =\underbrace{\Bigl(\frac{u+v}{4u}\Bigr)}_{g_{uu}}\,du^2 +\underbrace{\Bigl(\frac{u+v}{4v}\Bigr)}_{g_{vv}}\,dv^2,
e a métrica é diagonal. As componentes inversas são
g^{uu}=\frac{4u}{u+v},\qquad g^{vv}=\frac{4v}{u+v}.

Passo 3

O Hamiltoniano vale
H=\frac{1}{2m}\bigl(p_x^2+p_y^2\bigr)+\frac{k}{r}.
Em coordenadas gerais ortogonais a parte cinética vira
T=\frac{1}{2m}\Bigl(g^{uu}(\partial_uS)^2+g^{vv}(\partial_vS)^2\Bigr),
e r=(u+v)/2. Assim a equação de Hamilton–Jacobi
\frac{1}{2m}\Bigl(\tfrac{4u}{u+v}S_u'^2+\tfrac{4v}{u+v}S_v'^2\Bigr) +\frac{k}{(u+v)/2}+\partial_tS=0.

Passo 4

Procuramos uma integral completa do tipo
S(u,v,t)=-E\,t+S_u(u)+S_v(v).
Substituindo e multiplicando por \tfrac{u+v}{2}
\frac{1}{m}\bigl(u\,S_u'^2+v\,S_v'^2\bigr) +2k-\frac{E}{2}(u+v)=0.
Reagrupando em termos de u e v separadamente:
\bigl[u\,S_u'^2-\tfrac{mE}{2}u\bigr] +\bigl[v\,S_v'^2-\tfrac{mE}{2}v\bigr]+mk=0.
Introduzimos a constante de separação A e obtemos dois ODEs:
u\,\bigl(S_u'\bigr)^2-\frac{mE}{2}\,u=A, \quad v\,\bigl(S_v'\bigr)^2-\frac{mE}{2}\,v=-\,mk-A.

Passo 5

Resolvendo cada ODE para S_u' e S_v':
S_u'(u) =\sqrt{\frac{mE}{2}+\frac{A}{u}}\,, \qquad S_v'(v) =\sqrt{\frac{mE}{2}-\frac{mk+A}{v}}\,.
Integrando, a integral completa é
S(u,v,t)=-E\,t +\int^u\!\sqrt{\frac{mE}{2}+\frac{A}{u'}}\,du' +\int^v\!\sqrt{\frac{mE}{2}-\frac{mk+A}{v'}}\,dv'.

Passo 6

A segunda constante de movimento sai de
\frac{\partial S}{\partial A}=B,
que leva a uma relação do tipo
\ln\!\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr)\; -\;\sqrt{\frac{mE}{2A}}\;u -\;\sqrt{\frac{mE}{2(mk+A)}}\;v =\text{constante},
mas o mais direto é usar a interpretação física: em coordenadas polares u=r(1+\cos\theta), v=r(1-\cos\theta). A órbita kepleriana é
r(\theta)=\frac{p}{1+e\cos\theta},
com
p=\frac{L^2}{m\,k},\quad e=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{m\,k^2}},
onde L é o momento angular.

Passo 7

Substituindo
u=r(1+\cos\theta),\quad v=r(1-\cos\theta)
na forma polar da cônica
r=\frac{p}{1+e\cos\theta},
multiplicamos ambos os lados por 1+e\cos\theta e reescrevemos em (u,v). Usando \cos\theta=(u-v)/(u+v) e r=(u+v)/2, obtém-se a equação da órbita em coordenadas parabólicas:
(1+e)\,u \;+\;(1-e)\,v \;=\;2\,p\,.

Resposta

A integral completa é
S(u,v,t)=-E\,t +\int^u\!\sqrt{\tfrac{mE}{2}+\tfrac{A}{u'}}\,du' +\int^v\!\sqrt{\tfrac{mE}{2}-\tfrac{mk+A}{v'}}\,dv',
com constantes de separação E e A. A órbita em (u,v) vem dada por
(1+e)\,u+(1-e)\,v=2\,\frac{L^2}{m\,k},
onde
e=\sqrt{1+\frac{2E\,L^2}{m\,k^2}}\,,\quad p=\frac{L^2}{m\,k}\,.

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