Suponha que num problema com um grau de liberdade o potencial dependa linearmente do tempo, de modo que
H=\frac{p^{2}}{2 m}-A t x,
onde A é uma constante. Resolva as equações de movimento deste problema pelo método de Hamilton-Jacobi.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de um grau de liberdade com Hamiltoniano
H = \frac{p^{2}}{2m} - A\,t\,x,
onde A é constante. Queremos usar o método de Hamilton–Jacobi, isto é, encontrar a função de ação S(x,t;\alpha) que satisfaz a equação de Hamilton–Jacobi
\frac{\partial S}{\partial t} \;+\;\frac{1}{2m}\Bigl(\frac{\partial S}{\partial x}\Bigr)^{2}\;-\;A\,t\,x \;=\;0
e, a partir dela, obter as equações de movimento x(t) e p(t).

Passo 2

Para resolver a PDE usamos o ansatz
S(x,t;\alpha) \;=\;\alpha\,x \;+\;\beta(t)\,x \;+\;\gamma(t),
onde \alpha é constante (será o momento inicial) e \beta(t), \gamma(t) são funções a determinar. Calculamos
\frac{\partial S}{\partial x} = \alpha + \beta(t), \qquad \frac{\partial S}{\partial t} = \beta'(t)\,x + \gamma'(t).

Passo 3

Substituindo na equação de Hamilton–Jacobi obtém-se
\beta'(t)\,x + \gamma'(t) \;+\; \frac{1}{2m}\bigl[\alpha + \beta(t)\bigr]^{2} \;-\;A\,t\,x \;=\;0.
Como isso vale para todo x, separamos os coeficientes de x e o termo livre:
\beta'(t) - A\,t = 0, \qquad \gamma'(t) + \frac{[\alpha + \beta(t)]^{2}}{2m} = 0.

Passo 4

Integramos as duas equações ordinárias:
1. \beta'(t)=A\,t
\beta(t)=\frac{A}{2}\,t^{2},
(escolhemos a constante de integração zero pois ela se absorve em \alpha).
2. \gamma'(t) = -\frac{1}{2m}\bigl[\alpha + \tfrac{A}{2}t^{2}\bigr]^{2}. Integrando,
\gamma(t) = -\frac{1}{2m}\Bigl(\alpha^{2}t + \frac{2\alpha A\,t^{3}}{3} + \frac{A^{2}t^{5}}{10}\Bigr).

Passo 5

Assim a ação é
S(x,t;\alpha) = \alpha x + \frac{A}{2}t^{2}\,x -\frac{1}{2m}\Bigl(\alpha^{2}t + \tfrac{2\alpha A\,t^{3}}{3} + \tfrac{A^{2}t^{5}}{10}\Bigr).
Pela teoria, a nova constante canônica é \alpha e a coordenada conjugada
Q \;=\;\frac{\partial S}{\partial \alpha} = x - \frac{1}{m}\Bigl(\alpha\,t + \tfrac{A\,t^{3}}{6}\Bigr),
que permanece constante. Além disso
p(t) = \frac{\partial S}{\partial x} = \alpha + \frac{A}{2}\,t^{2}.

Passo 6

Isolando x e chamando \alpha = p_{0}, Q = x_{0} (valores iniciais em t=0), temos
p(t) = p_{0} + \frac{A}{2}\,t^{2}, \qquad x(t) = x_{0} + \frac{p_{0}}{m}\,t + \frac{A}{6m}\,t^{3}.

Resposta

p(t) = p_{0} + \frac{A}{2}\,t^{2}, \qquad x(t) = x_{0} + \frac{p_{0}}{m}\,t + \frac{A}{6m}\,t^{3}.

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