Suponha que num problema com um grau de liberdade o potencial dependa linearmente do tempo, de modo que
onde
é uma constante. Resolva as equações de movimento deste problema pelo método de Hamilton-Jacobi.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de um grau de liberdade com Hamiltoniano
onde
é constante. Queremos usar o método de Hamilton–Jacobi, isto é, encontrar a função de ação
que satisfaz a equação de Hamilton–Jacobi
e, a partir dela, obter as equações de movimento
e
.
Passo 2
Para resolver a PDE usamos o ansatz
onde
é constante (será o momento inicial) e
,
são funções a determinar. Calculamos
Passo 3
Substituindo na equação de Hamilton–Jacobi obtém-se
Como isso vale para todo
, separamos os coeficientes de
e o termo livre:
Passo 4
Integramos as duas equações ordinárias:
.
dá
(escolhemos a constante de integração zero pois ela se absorve em
).
.
. Integrando,
Passo 5
Assim a ação é
Pela teoria, a nova constante canônica é
e a coordenada conjugada
que permanece constante. Além disso
Passo 6
Isolando
e chamando
,
(valores iniciais em
), temos