1. Mostre que se a equação inicial (2) tem duas raízes reais distintas, r_{1} e r_{2}, então
y_{1}(x)=x^{r_{1}} \quad \text { e } \quad y_{2}(x)=x^{r_{2}}
são soluções fundamentais de (1) e, portanto,
y(x)=c_{1} x^{r_{1}}+c_{2} x^{r_{2}}
é a solução geral de (1), para x>0.

Passo 1

O problema trata da equação de Euler–Cauchy
x^{2}y'' + a\,x\,y' + b\,y = 0 \tag{1}
cuja equação característica é
r(r-1) + a\,r + b = 0. \tag{2}
Supondo que (2) tenha duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, queremos mostrar que
y_{1}(x)=x^{r_{1}} \quad\text{e}\quad y_{2}(x)=x^{r_{2}}
são soluções fundamentais de (1) em x>0, e que a solução geral é
y(x)=c_{1}x^{r_{1}} + c_{2}x^{r_{2}}.

Passo 2

Usamos o ansatz y(x)=x^{r}. Então
y'(x) = r\,x^{r-1}, \quad y''(x)=r(r-1)\,x^{r-2}.
Substituindo em (1):
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr] + a\,x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr] + b\bigl[x^{r}\bigr] = \bigl[r(r-1)+a\,r+b\bigr]\,x^{r}.
Como r=r_{1} ou r_{2} anula o polinômio r(r-1)+a\,r+b, concluímos que y_{1}(x)=x^{r_{1}} e y_{2}(x)=x^{r_{2}} satisfazem (1).

Passo 3

Para mostrar que são independentes, calculamos o wronskiano
W(x)= \begin{vmatrix} x^{r_{1}} & x^{r_{2}}\\\ r_{1}x^{r_{1}-1} & r_{2}x^{r_{2}-1} \end{vmatrix} = x^{r_{1}}\,r_{2}x^{r_{2}-1} - x^{r_{2}}\,r_{1}x^{r_{1}-1} = (r_{2}-r_{1})\,x^{r_{1}+r_{2}-1}.
Como r_{1}\neq r_{2} e x>0, temos W(x)\neq0, logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.

Passo 4

Por se tratar de uma equação diferencial de segunda ordem e termos duas soluções linearmente independentes em x>0, a teoria garante que a solução geral é
y(x)=c_{1}\,y_{1}(x) + c_{2}\,y_{2}(x) = c_{1}\,x^{r_{1}} + c_{2}\,x^{r_{2}}.

Resposta

y(x)=c_{1}x^{r_{1}} + c_{2}x^{r_{2}},\qquad x>0.

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