Se a equação inicial (2) tem uma raiz real, mostre que y_{1}(x)=x^{\frac{1-b}{2}} e y_{1}(x)=x^{\frac{1-b}{2}} \ln x são soluções fundamentais de (1) e, portanto, a solução geral de (1), para x>0 é
y(x)=C_{1} x^{\frac{1-b}{2}}+C_{2} x^{\frac{1-b}{2}} \ln x
Passo 1
O enunciado trata de uma equação de Cauchy–Euler do tipo
x^{2}y''+b\,x\,y'+c\,y=0
cuja equação indicial
r(r-1)+b\,r+c=0 \tag{2}
tem uma raiz real repetida. Mostraremos que, se essa raiz repetida é
r_{0}=\frac{1-b}{2},
então
y_{1}(x)=x^{r_{0}} \quad\text{e}\quad y_{2}(x)=x^{r_{0}}\ln x
são soluções fundamentais e, portanto, a solução geral em x>0 é
y(x)=C_{1}\,x^{r_{0}}+C_{2}\,x^{r_{0}}\ln x.
Passo 2
Primeiro verificamos que y_{1}(x)=x^{r_{0}} resolve a equação de Euler. Substituindo