- a) Determine qual ou quais funções
,
e
são soluções da equação
b) Seja
uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução
de forma que
e
sejam soluções fundamentais da equação.
c) Determine a solução geral da EDO
e obtenha a solução do PVI
c) Determine a solução geral da EDO
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO de segunda ordem
e pede:
a) testar se ,
ou
são soluções;
b) a partir de uma solução , obter outra
independente (solução fundamental);
c) escrever a solução geral e aplicar as condições ,
.
O conteúdo é equação linear com coeficientes variáveis e vamos usar teste direto e redução de ordem.
a) testar se
b) a partir de uma solução
c) escrever a solução geral e aplicar as condições
O conteúdo é equação linear com coeficientes variáveis e vamos usar teste direto e redução de ordem.
Passo 2
Para cada candidato
calculo
,
e avalio
Para
temos
para todo
. Logo,
não é solução.
Passo 3
Para
temos
para todo
. Assim,
também não é solução.
Passo 4
Para
temos
Portanto,
é solução.
Passo 5
Como uma solução fundamental é
, usamos redução de ordem. Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
onde
A fórmula de redução de ordem diz
Calculamos
Para a integral por partes ou identificação,
logo
Passo 6
As duas soluções fundamentais são
A solução geral é
Passo 7
Aplicando as condições
e
:
Somando as duas equações:
de onde
Portanto a solução do PVI é
Resposta
a) Apenas
é solução.
b) Uma segunda solução é , ficando
base fundamental.
c) A solução geral é
b) Uma segunda solução é
c) A solução geral é
e a solução do PVI é