Mostre que a equação de onda eletromagnética,
não retém sua forma perante as transformações de Galileu.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de onda eletromagnética
e pede para mostrar que ela não retém sua forma sob as transformações de Galileu. As informações relevantes são:
- A equação diferencial parcial acima, onde
é um campo escalar (por exemplo um componente do potencial eletromagnético) e é a velocidade de propagação. - A transformação de Galileu padrão (considerando um referencial
que se move com velocidade constante ao longo do eixo em relação a ):
- O pedido: verificar se, ao reescrever a equação em coordenadas primadas
, ela mantém exatamente a mesma forma (invariância de forma).
Passo 2
O que significa “manter a mesma forma”?
Significa que, se definirmos a representação do campo no referencial primado por tal que o valor físico seja o mesmo (campo escalar), isto é
Significa que, se definirmos a representação do campo no referencial primado por
então, ao reescrever a equação usando as derivadas em relação às variáveis primadas, deve-se obter exatamente
se a equação for invariante. A estratégia será aplicar a regra de cadeia para trocar derivadas em
por derivadas em
e ver o que aparece.
Antes de calcular, anotações úteis (cadeia simples):
a) Como e
, podemos inverter:
a) Como
b) Para derivadas parciais, usar a regra de cadeia. Exemplos que vamos precisar:
escritas em termos de
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas primeiras com a regra de cadeia.
Primeiro,
. Como
e
diferem apenas por um termo que depende de
, ao derivar em relação a
mantendo
fixo, tem-se
Aqui
e
, logo
Isto é intuitivo: mudar
com
fixo corresponde a mudar
com
fixo.
Agora,
. Usando a regra de cadeia:
Como
e
, tem-se
e
. Portanto
É importante entender: uma variação em
em
muda
(porque
contém
), por isso aparece o termo proporcional a
.
Passo 4
Calcular as segundas derivadas necessárias usando as expressões anteriores.
Para
, como
, obtemos
Para as derivadas em
e
nada muda:
Agora a segunda derivada temporal. Aplicando duas vezes a expressão de
:
Portanto
Desenvolvendo o produto (atenção à ordem: derivadas mistas comutam porque derivadas parciais de funções suficientemente regulares comutam):
Como
, simplificamos:
Passo 5
Substituir todas as segundas derivadas na equação de onda original, reescrevendo-a em termos das derivadas primadas. A equação original é
Usando os resultados dos passos anteriores (e lembrando que
), obtemos
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Interpretando o resultado: a equação escrita em coordenadas primadas é
Compare com a forma original desejada
Elas não coincidem em geral porque:
- Apareceu um termo misto
proporcional a . - O coeficiente de
mudou de para .
Portanto, a forma da equação não é preservada por uma transformação de Galileu com
. Os únicos casos em que a forma seria mantida são os casos triviais:
-
(mesmo referencial), ou - no limite formal
(velocidade de propagação infinita), caso em que os termos proporcionais a desaparecem e a questão de invariância sob Galileu se torna diferente.
Fisicamente, isso reflete um ponto importante: a equação de onda descreve propagação com velocidade finita
, e a hipótese de tempo absoluto das transformações de Galileu não é compatível com a invariância desse tipo de equação. Foi exatamente essa incompatibilidade que motivou as transformações de Lorentz e a teoria da relatividade especial.
Resposta
Não; sob a transformação de Galileu
a equação transforma-se em
que não tem a mesma forma da equação original (salvo o caso trivial
ou o limite
).