Mostre que a equação de onda eletromagnética,
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}=0
não retém sua forma perante as transformações de Galileu.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de onda eletromagnética
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial z^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=0
e pede para mostrar que ela não retém sua forma sob as transformações de Galileu. As informações relevantes são:
  • A equação diferencial parcial acima, onde \varphi=\varphi(x,y,z,t) é um campo escalar (por exemplo um componente do potencial eletromagnético) e c é a velocidade de propagação.
  • A transformação de Galileu padrão (considerando um referencial S' que se move com velocidade constante v ao longo do eixo x em relação a S):
x'=x-vt,\qquad y'=y,\qquad z'=z,\qquad t'=t.
  • O pedido: verificar se, ao reescrever a equação em coordenadas primadas (x',y',z',t'), ela mantém exatamente a mesma forma (invariância de forma).

Passo 2

O que significa “manter a mesma forma”?
Significa que, se definirmos a representação do campo no referencial primado por \varphi'(x',y',z',t') tal que o valor físico seja o mesmo (campo escalar), isto é
\varphi'(x',y',z',t')=\varphi(x,y,z,t),
então, ao reescrever a equação usando as derivadas em relação às variáveis primadas, deve-se obter exatamente
\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial x'^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial y'^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial z'^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial t'^{2}}=0
se a equação for invariante. A estratégia será aplicar a regra de cadeia para trocar derivadas em (x,t) por derivadas em (x',t') e ver o que aparece.
Antes de calcular, anotações úteis (cadeia simples):
a) Como x'=x-vt e t'=t, podemos inverter:
x=x'+vt',\qquad t=t'.
b) Para derivadas parciais, usar a regra de cadeia. Exemplos que vamos precisar:
\frac{\partial}{\partial x} \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial t}
escritas em termos de \partial/\partial x' e \partial/\partial t'.

Passo 3

Calcular as derivadas primeiras com a regra de cadeia.
Primeiro, \partial/\partial x. Como x e x' diferem apenas por um termo que depende de t', ao derivar em relação a x mantendo t fixo, tem-se
\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial x'}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x'} + \frac{\partial t'}{\partial x}\frac{\partial}{\partial t'}.
Aqui \partial x'/\partial x = 1 e \partial t'/\partial x = 0, logo
\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x'}.
Isto é intuitivo: mudar x com t fixo corresponde a mudar x' com t' fixo.
Agora, \partial/\partial t. Usando a regra de cadeia:
\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial x'}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x'} + \frac{\partial t'}{\partial t}\frac{\partial}{\partial t'}.
Como x'=x-vt e t'=t, tem-se \partial x'/\partial t=-v e \partial t'/\partial t=1. Portanto
\frac{\partial}{\partial t} = -v\frac{\partial}{\partial x'} + \frac{\partial}{\partial t'}.
É importante entender: uma variação em t em S muda x' (porque x' contém t), por isso aparece o termo proporcional a \partial/\partial x'.

Passo 4

Calcular as segundas derivadas necessárias usando as expressões anteriores.
Para \partial^{2}/\partial x^{2}, como \partial/\partial x=\partial/\partial x', obtemos
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}}{\partial x'^{2}}.
Para as derivadas em y e z nada muda:
\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}}{\partial y'^{2}},\qquad \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}=\frac{\partial^{2}}{\partial z'^{2}}.
Agora a segunda derivada temporal. Aplicando duas vezes a expressão de \partial/\partial t:
\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t'} - v\frac{\partial}{\partial x'}.
Portanto
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}=\left(\frac{\partial}{\partial t'}-v\frac{\partial}{\partial x'}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t'}-v\frac{\partial}{\partial x'}\right).
Desenvolvendo o produto (atenção à ordem: derivadas mistas comutam porque derivadas parciais de funções suficientemente regulares comutam):
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} =\frac{\partial^{2}}{\partial t'^{2}}-v\frac{\partial^{2}}{\partial t'\partial x'}-v\frac{\partial^{2}}{\partial x'\partial t'}+v^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x'^{2}}.
Como \partial^{2}/\partial t'\partial x'=\partial^{2}/\partial x'\partial t', simplificamos:
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} =\frac{\partial^{2}}{\partial t'^{2}}-2v\frac{\partial^{2}}{\partial t'\partial x'}+v^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x'^{2}}.

Passo 5

Substituir todas as segundas derivadas na equação de onda original, reescrevendo-a em termos das derivadas primadas. A equação original é
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial z^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=0.
Usando os resultados dos passos anteriores (e lembrando que \varphi'(x',y',z',t')=\varphi(x,y,z,t)), obtemos
\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial x'^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial y'^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial z'^{2}} -\frac{1}{c^{2}}\!\left(\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial t'^{2}}-2v\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial t'\partial x'}+v^{2}\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial x'^{2}}\right)=0.
Agrupando termos semelhantes:
\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial x'^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial y'^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial z'^{2}} -\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial t'^{2}}+\frac{2v}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial t'\partial x'}=0.

Passo 6

Interpretando o resultado: a equação escrita em coordenadas primadas é
\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial x'^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial y'^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial z'^{2}} -\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial t'^{2}}+\frac{2v}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial t'\partial x'}=0.
Compare com a forma original desejada
\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial x'^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial y'^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial z'^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial t'^{2}}=0.
Elas não coincidem em geral porque:
  • Apareceu um termo misto \dfrac{\partial^{2}\varphi'}{\partial t'\partial x'} proporcional a v.
  • O coeficiente de \dfrac{\partial^{2}\varphi'}{\partial x'^{2}} mudou de 1 para \left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right).
Portanto, a forma da equação não é preservada por uma transformação de Galileu com v\neq 0. Os únicos casos em que a forma seria mantida são os casos triviais:
  • v=0 (mesmo referencial), ou
  • no limite formal c\to\infty (velocidade de propagação infinita), caso em que os termos proporcionais a 1/c^{2} desaparecem e a questão de invariância sob Galileu se torna diferente.
Fisicamente, isso reflete um ponto importante: a equação de onda descreve propagação com velocidade finita c, e a hipótese de tempo absoluto das transformações de Galileu não é compatível com a invariância desse tipo de equação. Foi exatamente essa incompatibilidade que motivou as transformações de Lorentz e a teoria da relatividade especial.

Resposta

Não; sob a transformação de Galileu x'=x-vt,\\ t'=t a equação transforma-se em
\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial x'^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial y'^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial z'^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial t'^{2}}+\frac{2v}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi'}{\partial t'\partial x'}=0,
que não tem a mesma forma da equação original (salvo o caso trivial v=0 ou o limite c\to\infty).

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