No processo de colisão elástica entre duas partículas de massa m_{1} e m_{2} a energia cinética é conservada. Mostre, usando as transformações de Galileu, que se a colisão é elástica num referencial inercial ela é elástica em todos os sistemas inerciais.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte e pede a seguinte conclusão.
  • Dados fornecidos:
    • Duas partículas, com massas m_{1} e m_{2}.
    • Num referencial inercial S ocorre uma colisão elástica entre elas. Isso significa que, naquele referencial, a energia cinética total antes e depois da colisão é a mesma. Se denotarmos as velocidades iniciais por \mathbf{v}_{1i},\mathbf{v}_{2i} e as finais por \mathbf{v}_{1f},\mathbf{v}_{2f}, então em S \tfrac{1}{2}m_{1}\|\mathbf{v}_{1i}\|^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}\|\mathbf{v}_{2i}\|^{2} = \tfrac{1}{2}m_{1}\|\mathbf{v}_{1f}\|^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}\|\mathbf{v}_{2f}\|^{2}.
    • A colisão é isolada (nenhuma força externa relevante durante o choque), logo o momento linear total é conservado em S: m_{1}\mathbf{v}_{1i}+m_{2}\mathbf{v}_{2i}=m_{1}\mathbf{v}_{1f}+m_{2}\mathbf{v}_{2f}.
  • O que se pede:
    • Mostrar, usando as transformações de Galileu, que se a colisão é elástica em um referencial inercial S então ela também é elástica em qualquer outro referencial inercial S' (isto é, a energia cinética total antes e depois é igual também em S').

Passo 2

Lembrete das transformações de Galileu que vamos usar e definição das quantidades no novo referencial.
  • Se S' se move em relação a S com velocidade constante \mathbf{V} (o mesmo vetor \mathbf{V} para todos os pontos), as velocidades transformam-se por \mathbf{v}'=\mathbf{v}-\mathbf{V},ou seja, para cada partícula \mathbf{v}'_{1i}=\mathbf{v}_{1i}-\mathbf{V},\qquad \mathbf{v}'_{2i}=\mathbf{v}_{2i}-\mathbf{V},e análogas para as velocidades finais \mathbf{v}'_{1f}=\mathbf{v}_{1f}-\mathbf{V}, \mathbf{v}'_{2f}=\mathbf{v}_{2f}-\mathbf{V}.
  • A energia cinética total no referencial S' antes da colisão é K'_{\text{antes}}=\tfrac{1}{2}m_{1}\|\mathbf{v}'_{1i}\|^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}\|\mathbf{v}'_{2i}\|^{2}.Similarmente, depois da colisão K'_{\text{depois}}=\tfrac{1}{2}m_{1}\|\mathbf{v}'_{1f}\|^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}\|\mathbf{v}'_{2f}\|^{2}.

Passo 3

Expandir as energias cinéticas no referencial S' usando \|\mathbf{a}-\mathbf{b}\|^{2}=\|\mathbf{a}\|^{2}-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\|\mathbf{b}\|^{2}.
  • Para o estado inicial:
    \begin{aligned} K'_{\text{antes}} &=\tfrac{1}{2}m_{1}\|\mathbf{v}_{1i}-\mathbf{V}\|^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}\|\mathbf{v}_{2i}-\mathbf{V}\|^{2}\\[4pt] &=\tfrac{1}{2}m_{1}\|\mathbf{v}_{1i}\|^{2}-m_{1}\mathbf{v}_{1i}\cdot\mathbf{V}+\tfrac{1}{2}m_{1}\|\mathbf{V}\|^{2}\\\ &\qquad+\tfrac{1}{2}m_{2}\|\mathbf{v}_{2i}\|^{2}-m_{2}\mathbf{v}_{2i}\cdot\mathbf{V}+\tfrac{1}{2}m_{2}\|\mathbf{V}\|^{2}. \end{aligned}
    Agrupando:
    K'_{\text{antes}} =\Big(\tfrac{1}{2}m_{1}\|\mathbf{v}_{1i}\|^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}\|\mathbf{v}_{2i}\|^{2}\Big) -\mathbf{V}\cdot\big(m_{1}\mathbf{v}_{1i}+m_{2}\mathbf{v}_{2i}\big) +\tfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})\|\mathbf{V}\|^{2}.
    Ou seja,
    K'_{\text{antes}}=K_{\text{antes}}-\mathbf{V}\cdot\mathbf{P}_{\text{antes}}+\tfrac{1}{2}M\|\mathbf{V}\|^{2},
    onde definimos K_{\text{antes}}=\tfrac{1}{2}m_{1}\|\mathbf{v}_{1i}\|^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}\|\mathbf{v}_{2i}\|^{2}, \mathbf{P}_{\text{antes}}=m_{1}\mathbf{v}_{1i}+m_{2}\mathbf{v}_{2i} e M=m_{1}+m_{2}.
  • Para o estado final, pelo mesmo cálculo:
    K'_{\text{depois}}=K_{\text{depois}}-\mathbf{V}\cdot\mathbf{P}_{\text{depois}}+\tfrac{1}{2}M\|\mathbf{V}\|^{2},
    com K_{\text{depois}}=\tfrac{1}{2}m_{1}\|\mathbf{v}_{1f}\|^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}\|\mathbf{v}_{2f}\|^{2} e \mathbf{P}_{\text{depois}}=m_{1}\mathbf{v}_{1f}+m_{2}\mathbf{v}_{2f}.]

Passo 4

Calcular a diferença entre energia depois e antes em S' e usar as conservações em S.
  • A diferença em S' é
    \begin{aligned} \Delta K'&\equiv K'_{\text{depois}}-K'_{\text{antes}}\\[4pt] &=\big(K_{\text{depois}}-K_{\text{antes}}\big) -\mathbf{V}\cdot\big(\mathbf{P}_{\text{depois}}-\mathbf{P}_{\text{antes}}\big) +\tfrac{1}{2}M\|\mathbf{V}\|^{2}-\tfrac{1}{2}M\|\mathbf{V}\|^{2}. \end{aligned}
    Repare que os termos com \tfrac{1}{2}M\|\mathbf{V}\|^{2} cancelam.
    Assim
    \Delta K'=\Delta K-\mathbf{V}\cdot\Delta\mathbf{P},
    onde \Delta K=K_{\text{depois}}-K_{\text{antes}} e \Delta\mathbf{P}=\mathbf{P}_{\text{depois}}-\mathbf{P}_{\text{antes}}.
  • Agora usamos as hipóteses no referencial S:
    • A colisão é elástica em S, logo \Delta K=0.
    • A colisão é isolada, logo o momento linear total é conservado em S, isto é \Delta\mathbf{P}=\mathbf{0}.
    Substituindo esses fatos em \Delta K'=\Delta K-\mathbf{V}\cdot\Delta\mathbf{P} obtemos
    \Delta K'=0- \mathbf{V}\cdot\mathbf{0}=0.]

Passo 5

Interpretação final e comentário didático.
  • Conclusão direta do cálculo: a diferença entre energia cinética total depois e antes da colisão em S' é zero, portanto a energia cinética total é conservada também em S'. Em palavras: se a colisão é elástica em um referencial inercial (energia cinética conservada) e o choque é isolado (momento linear conservado), então a propriedade “ser elástica” é invariante sob transformações de Galileu — vale para qualquer outro referencial inercial que se mova com velocidade constante \mathbf{V} em relação ao primeiro.
  • Por que isso faz sentido fisicamente (rápida intuição): ao passar para um referencial em movimento uniforme, todas as velocidades recebem o mesmo deslocamento -\mathbf{V}. Esse deslocamento introduz termos adicionais nas energias (linear em \mathbf{V} e um termo comum proporcional a V^{2}), mas o termo comum em V^{2} cancela quando se faz a diferença entre estados antes e depois, e o termo linear em \mathbf{V} envolve a diferença de momento total — que é zero para uma colisão isolada. Então nada estraga a igualdade de energias antes/depois.

Resposta

A colisão é elástica em todos os referenciais inerciais.

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