No processo de colisão elástica entre duas partículas de massa
e
a energia cinética é conservada. Mostre, usando as transformações de Galileu, que se a colisão é elástica num referencial inercial ela é elástica em todos os sistemas inerciais.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte e pede a seguinte conclusão.
- Dados fornecidos:
- Duas partículas, com massas
e . - Num referencial inercial
ocorre uma colisão elástica entre elas. Isso significa que, naquele referencial, a energia cinética total antes e depois da colisão é a mesma. Se denotarmos as velocidades iniciais por e as finais por , então em - A colisão é isolada (nenhuma força externa relevante durante o choque), logo o momento linear total é conservado em
:
- Duas partículas, com massas
- O que se pede:
- Mostrar, usando as transformações de Galileu, que se a colisão é elástica em um referencial inercial
então ela também é elástica em qualquer outro referencial inercial (isto é, a energia cinética total antes e depois é igual também em ).
- Mostrar, usando as transformações de Galileu, que se a colisão é elástica em um referencial inercial
Passo 2
Lembrete das transformações de Galileu que vamos usar e definição das quantidades no novo referencial.
- Se
se move em relação a com velocidade constante (o mesmo vetor para todos os pontos), as velocidades transformam-se por ou seja, para cada partícula e análogas para as velocidades finais , . - A energia cinética total no referencial
antes da colisão é Similarmente, depois da colisão
Passo 3
Expandir as energias cinéticas no referencial
usando
.
-
Para o estado inicial:Agrupando:Ou seja,onde definimos
, e . -
Para o estado final, pelo mesmo cálculo:com
e .]
Passo 4
Calcular a diferença entre energia depois e antes em
e usar as conservações em
.
-
A diferença em
é Repare que os termos comcancelam.
Assimondee . -
Agora usamos as hipóteses no referencial
: - A colisão é elástica em
, logo . - A colisão é isolada, logo o momento linear total é conservado em
, isto é .
Substituindo esses fatos emobtemos ] - A colisão é elástica em
Passo 5
Interpretação final e comentário didático.
- Conclusão direta do cálculo: a diferença entre energia cinética total depois e antes da colisão em
é zero, portanto a energia cinética total é conservada também em . Em palavras: se a colisão é elástica em um referencial inercial (energia cinética conservada) e o choque é isolado (momento linear conservado), então a propriedade “ser elástica” é invariante sob transformações de Galileu — vale para qualquer outro referencial inercial que se mova com velocidade constante em relação ao primeiro. - Por que isso faz sentido fisicamente (rápida intuição): ao passar para um referencial em movimento uniforme, todas as velocidades recebem o mesmo deslocamento
. Esse deslocamento introduz termos adicionais nas energias (linear em e um termo comum proporcional a ), mas o termo comum em cancela quando se faz a diferença entre estados antes e depois, e o termo linear em envolve a diferença de momento total — que é zero para uma colisão isolada. Então nada estraga a igualdade de energias antes/depois.
Resposta
A colisão é elástica em todos os referenciais inerciais.