Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
16 x^{2}+16 y^{2}+8 x+32 y+1=0

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação:
16x^{2}+16y^{2}+8x+32y+1=0.
O que a questão pede:
  • Mostrar que essa equação representa uma circunferência.
  • Determinar o centro e o raio dessa circunferência.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes dos termos quadráticos: 16 em x^{2} e 16 em y^{2}.
  • Coeficientes dos termos lineares: 8 em x e 32 em y.
  • Termo constante: 1.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a equação dividindo tudo por 16 para trabalhar com coeficientes unitários nos quadrados (isso facilita completar o quadrado). Dividindo por 16 obtemos:
x^{2}+y^{2}+\frac{1}{2}x+2y+\frac{1}{16}=0.

Passo 3

Agora vamos completar o quadrado separadamente para as partes em x e em y. Lembrete rápido (didático): completar o quadrado para uma expressão do tipo x^{2}+bx consiste em escrever
x^{2}+bx=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
Aqui b é o coeficiente do termo linear em x. Essa identidade vem de expandir \left(x+\tfrac{b}{2}\right)^{2}=x^{2}+bx+\tfrac{b^{2}}{4}.
Aplicando isso ao termo em x da nossa equação: o coeficiente b é \tfrac{1}{2}. Logo
x^{2}+\frac{1}{2}x=\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}.

Passo 4

Agora completar o quadrado para a parte em y. Usamos a mesma ideia com b=2:
y^{2}+2y=\left(y+1\right)^{2}-1.
Porque \left(y+1\right)^{2}=y^{2}+2y+1.

Passo 5

Substituindo as duas identidades na equação simplificada de x e y:
\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}+\left(y+1\right)^{2}-1+\frac{1}{16}=0.
Agora somamos os termos constantes -\tfrac{1}{16}-1+\tfrac{1}{16}. Observa que -\tfrac{1}{16} e +\tfrac{1}{16} se cancelam, sobrando apenas -1. Portanto a equação fica
\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}-1=0,
ou seja
\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=1.

Passo 6

Interpretando a forma padrão da equação da circunferência: uma circunferência com centro (h,k) e raio r tem equação
\left(x-h\right)^{2}+\left(y-k\right)^{2}=r^{2}.
Comparando com \left(x+\tfrac{1}{4}\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=1, vemos que:
  • x+\tfrac{1}{4} = x-(-\tfrac{1}{4}) implica h=-\tfrac{1}{4}.
  • y+1 = y-(-1) implica k=-1.
  • O lado direito é 1, então r^{2}=1 e r=1 (raio positivo).
Portanto a equação dada representa uma circunferência de centro \left(-\tfrac{1}{4},-1\right) e raio 1.

Resposta

Centro: \left(-\dfrac{1}{4},-1\right)
Raio: 1

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