Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação:
O que a questão pede:
- Mostrar que essa equação representa uma circunferência.
- Determinar o centro e o raio dessa circunferência.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes dos termos quadráticos:
em e em . - Coeficientes dos termos lineares:
em e em . - Termo constante:
.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a equação dividindo tudo por
para trabalhar com coeficientes unitários nos quadrados (isso facilita completar o quadrado). Dividindo por
obtemos:
Passo 3
Agora vamos completar o quadrado separadamente para as partes em
e em
. Lembrete rápido (didático): completar o quadrado para uma expressão do tipo
consiste em escrever
Aqui
é o coeficiente do termo linear em
. Essa identidade vem de expandir
.
Aplicando isso ao termo em
da nossa equação: o coeficiente
é
. Logo
Passo 4
Agora completar o quadrado para a parte em
. Usamos a mesma ideia com
:
Porque
.
Passo 5
Substituindo as duas identidades na equação simplificada de
e
:
Agora somamos os termos constantes
. Observa que
e
se cancelam, sobrando apenas
. Portanto a equação fica
ou seja
Passo 6
Interpretando a forma padrão da equação da circunferência: uma circunferência com centro
e raio
tem equação
Comparando com
, vemos que:
-
implica . -
implica . - O lado direito é
, então e (raio positivo).
Portanto a equação dada representa uma circunferência de centro
e raio
.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: