Mostre que a equaçāo representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
(16 x^{2}+16 y^{2}+8 x+32 y+1=0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
16x^{2} + 16y^{2} + 8x + 32y + 1 = 0
é a equação de uma circunferência, e em seguida determinar seu centro e raio. Vamos usar o método de completar quadrados, típico da geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, simplificamos dividindo toda a equação por 16, para ter coeficientes principais iguais a 1:
x^{2} + y^{2} + \frac{8}{16}\,x + \frac{32}{16}\,y + \frac{1}{16} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + y^{2} + \tfrac12\,x + 2\,y + \tfrac1{16} = 0.

Passo 3

Agrupamos termos em x e termos em y:
(x^{2} + \tfrac12\,x) + (y^{2} + 2\,y) + \tfrac1{16} = 0.

Passo 4

Em cada grupo, completamos o quadrado.
Para x:
x^{2} + \tfrac12\,x = \bigl(x + \tfrac14\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac14\bigr)^{2} = \bigl(x + \tfrac14\bigr)^{2} - \tfrac1{16}.
Para y:
y^{2} + 2\,y = (y + 1)^{2} - 1.

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
\bigl(x + \tfrac14\bigr)^{2} - \tfrac1{16} \;+\; (y + 1)^{2} - 1 \;+\; \tfrac1{16} = 0.
Os termos -\tfrac1{16} e +\tfrac1{16} se anulam, e sobra
\bigl(x + \tfrac14\bigr)^{2} + (y + 1)^{2} - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x + \tfrac14\bigr)^{2} + (y + 1)^{2} = 1.

Passo 6

A forma \bigl(x - x_{0}\bigr)^{2} + \bigl(y - y_{0}\bigr)^{2} = r^{2} é a de uma circunferência de centro (x_{0},y_{0}) e raio r. Aqui temos
x + \tfrac14 = x - \bigl(-\tfrac14\bigr), \quad y + 1 = y - (-1), \quad r^{2} = 1,
logo o centro é \bigl(-\tfrac14,\,-1\bigr) e o raio é 1.

Resposta

O conjunto definido pela equação é uma circunferência de centro \bigl(-\tfrac14,\,-1\bigr) e raio 1.

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