Mostre que a equaçāo representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
(16 x^{2}+16 y^{2}+8 x+32 y+1=0)
(16 x^{2}+16 y^{2}+8 x+32 y+1=0)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
é a equação de uma circunferência, e em seguida determinar seu centro e raio. Vamos usar o método de completar quadrados, típico da geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, simplificamos dividindo toda a equação por
, para ter coeficientes principais iguais a
:
Passo 3
Agrupamos termos em
e termos em
:
Passo 4
Em cada grupo, completamos o quadrado.
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Os termos
e
se anulam, e sobra
Passo 6
A forma
é a de uma circunferência de centro
e raio
. Aqui temos
logo o centro é
e o raio é
.
Resposta
O conjunto definido pela equação é uma circunferência de centro
e raio
.