No \mathbb{R}^{2} determine o vetor coordenada e a matriz coordenada de v=(8,6) em relação as bases:
\{(1,-3),(2,4)\}

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor v=(8,6) em \mathbb{R}^2 e a base
B=\{b_1=(1,-3),\;b_2=(2,4)\}.
Precisamos achar o vetor de coordenadas [v]_B na base B e a matriz coordenada P_B cujas colunas são b_1 e b_2.

Passo 2

Para encontrar [v]_B escrevemos
\alpha\,b_1+\beta\,b_2=(8,6),
isto é,
\alpha(1,-3)+\beta(2,4)=(8,6),
o que gera o sistema
\begin{cases} \alpha+2\beta=8,\\\\ -3\alpha+4\beta=6. \end{cases}

Passo 3

Multiplicando a primeira equação por 3 e somando à segunda:
3\alpha+6\beta=24, \quad -3\alpha+4\beta=6 \quad\Longrightarrow\quad 10\beta=30 \quad\Rightarrow\quad \beta=3.
Substituindo em \alpha+2\beta=8 obtemos
\alpha=8-2\cdot3=2.

Passo 4

O vetor de coordenadas de v na base B é
[v]_B=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix}.
A matriz coordenada P_B (mudança de base de B para a base canônica) tem colunas b_1 e b_2:
P_B=\begin{pmatrix}1&2\\\ -3&4\end{pmatrix}.

Resposta

[v]_B=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} P_B=\begin{pmatrix}1&2\\\ -3&4\end{pmatrix}

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