- Mostre que a equação
possui pelo menos uma solução no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
possui pelo menos uma solução no intervalo
.
Informações dadas:
- A equação é
. - O intervalo a considerar é
.
Passo 2
Transformar o problema em procurar raízes de uma função contínua facilita o uso de teoremas. Definimos a função
Note que
é equivalente a
, pois somando
em ambos os lados da equação original obtemos exatamente
. Assim, mostrar que existe solução de
em
é o mesmo que mostrar que existe
tal que
.
Passo 3
Vou justificar que podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Para isso precisamos que
seja contínua em
.
Propriedades usadas:
- A função
é contínua em . - A função
é contínua em . - Soma e diferença de funções contínuas são contínuas.
Portanto
é contínua em todo
, logo em particular é contínua em
. (Continuidade significa, de modo simples, que valores de
mudam sem saltos quando
muda levemente — isso é exatamente a hipótese do TVI.)
Passo 4
Calcular
nos extremos do intervalo.
Calculemos
:
Portanto
.
Passo 5
Calcular
:
Sabemos que
(de fato
), logo
e consequentemente
. Portanto
.
Resumo numérico dos sinais:
-
. -
.
Passo 6
Enunciar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) de forma prática:
Se uma função é contínua em
e
e
têm sinais opostos (um negativo e outro positivo), então existe pelo menos um ponto
tal que
.
Se uma função
Interpretando: continuidade + mudança de sinal garantem existência de raiz no intervalo aberto entre os pontos.
Passo 7
Aplicar o TVI a
no intervalo
. Como
é contínua em
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
Pelo passo 2 isso é equivalente a
Assim concluímos que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
(na verdade em
).
Passo 8
(Bônus explicativo — unicidade da solução) Se quiser saber se a solução é única, calcule a derivada
Como
para todo
, temos
em
. Logo
é estritamente crescente e não pode se anular em mais de um ponto. Portanto a raiz encontrada é única em
. (Isto é um extra — o enunciado só pedia existência.)
Resposta
Existe
tal que
.