1. Mostre que a equação e^{x}=3-x possui pelo menos uma solução no intervalo [0,2].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação e^{x}=3-x possui pelo menos uma solução no intervalo [0,2].
Informações dadas:
  • A equação é e^{x}=3-x.
  • O intervalo a considerar é [0,2].

Passo 2

Transformar o problema em procurar raízes de uma função contínua facilita o uso de teoremas. Definimos a função
f(x)=e^{x}+x-3.
Note que f(x)=0 é equivalente a e^{x}=3-x, pois somando x-3 em ambos os lados da equação original obtemos exatamente f(x)=0. Assim, mostrar que existe solução de e^{x}=3-x em [0,2] é o mesmo que mostrar que existe c\in[0,2] tal que f\text{(c)}=0.

Passo 3

Vou justificar que podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Para isso precisamos que f seja contínua em [0,2].
Propriedades usadas:
  • A função x\mapsto e^{x} é contínua em \mathbb{R}.
  • A função x\mapsto x é contínua em \mathbb{R}.
  • Soma e diferença de funções contínuas são contínuas.
Portanto f(x)=e^{x}+x-3 é contínua em todo \mathbb{R}, logo em particular é contínua em [0,2]. (Continuidade significa, de modo simples, que valores de f(x) mudam sem saltos quando x muda levemente — isso é exatamente a hipótese do TVI.)

Passo 4

Calcular f nos extremos do intervalo.
Calculemos f(0):
f(0)=e^{0}+0-3=1-3=-2.
Portanto f(0)=-2<0.

Passo 5

Calcular f(2):
f(2)=e^{2}+2-3=e^{2}-1.
Sabemos que e>1 (de fato e\approx2{,}718), logo e^{2}>1 e consequentemente e^{2}-1>0. Portanto f(2)>0.
Resumo numérico dos sinais:
  • f(0)=-2<0.
  • f(2)=e^{2}-1>0.

Passo 6

Enunciar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) de forma prática:
Se uma função g é contínua em [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (um negativo e outro positivo), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
Interpretando: continuidade + mudança de sinal garantem existência de raiz no intervalo aberto entre os pontos.

Passo 7

Aplicar o TVI a f no intervalo [0,2]. Como f é contínua em [0,2] e f(0)<0<f(2), pelo Teorema do Valor Intermediário existe c\in(0,2) tal que
f\text{(c)}=0.
Pelo passo 2 isso é equivalente a
e^{c}=3-c.
Assim concluímos que a equação e^{x}=3-x tem pelo menos uma solução no intervalo [0,2] (na verdade em (0,2)).

Passo 8

(Bônus explicativo — unicidade da solução) Se quiser saber se a solução é única, calcule a derivada
f'(x)=e^{x}+1.
Como e^{x}>0 para todo x, temos f'(x)>0 em [0,2]. Logo f é estritamente crescente e não pode se anular em mais de um ponto. Portanto a raiz encontrada é única em [0,2]. (Isto é um extra — o enunciado só pedia existência.)

Resposta

Existe c\in(0,2) tal que e^{c}=3-c.

Exercícios relacionados