- Determine um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz da função
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que já temos.
- A função dada é
. - O que se pede: determinar um intervalo de comprimento
que contenha uma raiz de (isto é, um ponto com ). - Informação útil que já está no enunciado:
é um polinômio de grau com coeficientes reais.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagarinho):
- Polinômios são funções contínuas em todo
. Isso significa que não há “saltos”: quando varia pouco, varia pouco. - Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função
é contínua em um intervalo e e têm sinais opostos (isto é, ), então existe pelo menos um tal que . Em palavras: uma função contínua que muda de sinal entre dois pontos necessariamente cruza o eixo . - Aplicação: como
é um polinômio, ela é contínua. Então, para provar que existe uma raiz em um intervalo de comprimento , basta encontrar e com tais que e tenham sinais opostos.
Passo 3
Vamos testar valores de
em pontos inteiros vizinhos (isso é prático numa prova sem calculadora):
Calcular
:
Agora passo a passo:
Então
Portanto
.
Calcular
:
Passo a passo:
Então
Portanto
.
Passo 4
Interpretação e conclusão com o TVI:
- Observamos que
e . Logo . - Como
é contínua, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos um em tal que . - O intervalo
tem comprimento . Se preferir apresentar um intervalo fechado de mesmo comprimento, também contém essa raiz (porque contém ).