1. Determine um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz da função f(x)=x^{4}-3 x^{2}+x+2.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que já temos.
  • A função dada é f(x)=x^{4}-3x^{2}+x+2.
  • O que se pede: determinar um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz de f (isto é, um ponto c com f\text{(c)}=0).
  • Informação útil que já está no enunciado: f é um polinômio de grau 4 com coeficientes reais.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagarinho):
  • Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Isso significa que não há “saltos”: quando x varia pouco, f(x) varia pouco.
  • Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função g é contínua em um intervalo [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (isto é, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0. Em palavras: uma função contínua que muda de sinal entre dois pontos necessariamente cruza o eixo x.
  • Aplicação: como f é um polinômio, ela é contínua. Então, para provar que existe uma raiz em um intervalo de comprimento 1, basta encontrar a e b com b-a=1 tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.

Passo 3

Vamos testar valores de f em pontos inteiros vizinhos (isso é prático numa prova sem calculadora):
Calcular f(-2):
f(-2)=(-2)^{4}-3(-2)^{2}+(-2)+2.
Agora passo a passo:
(-2)^{4}=16,\qquad (-2)^{2}=4,\qquad -3\cdot4=-12.
Então
f(-2)=16-12-2+2=16-12+0=4.
Portanto f(-2)=4>0.
Calcular f(-1):
f(-1)=(-1)^{4}-3(-1)^{2}+(-1)+2.
Passo a passo:
(-1)^{4}=1,\qquad (-1)^{2}=1,\qquad -3\cdot1=-3.
Então
f(-1)=1-3-1+2= (1-3)+(-1+2)=-2+1=-1.
Portanto f(-1)=-1<0.

Passo 4

Interpretação e conclusão com o TVI:
  • Observamos que f(-2)=4>0 e f(-1)=-1<0. Logo f(-2)\cdot f(-1)<0.
  • Como f é contínua, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos um c em (-2,-1) tal que f\text{(c)}=0.
  • O intervalo (-2,-1) tem comprimento 1. Se preferir apresentar um intervalo fechado de mesmo comprimento, [-2,-1] também contém essa raiz (porque contém (-2,-1)).

Resposta

[-2,-1]

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