Calcule os limites abaixo usando o teorema de continuidade de funções compostas:
\lim _{x \rightarrow 2} e^{x^{2}-4 x+4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 2:
\lim_{x\rightarrow 2} e^{x^{2}-4x+4}.
Informações dadas e o que é solicitado:
  • A função cuja limite queremos é a exponencial composta x \mapsto e^{x^{2}-4x+4}.
  • O que se pede: o valor numérico do limite \lim_{x\rightarrow 2} e^{x^{2}-4x+4}.
  • Observação: o expoente é a expressão polinomial x^{2}-4x+4.

Passo 2

Explicação do teorema de continuidade de funções compostas (a ferramenta que vamos usar).
  • Definição informal de continuidade: dizer que uma função f é contínua em um ponto a significa que, quando a entrada x se aproxima de a, os valores f(x) se aproximam de f(a). Em símbolos: f contínua em a implica
\lim_{u\to a} f(u) = f(a).
  • Teorema de continuidade de funções compostas (forma prática): se g(x) tem limite \lim_{x\to a} g(x)=L e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f\bigl(\lim_{x\to a} g(x)\bigr) = f(L).
  • Intuição curta e útil para a prova: como f é contínua, pequenas variações em sua entrada causam pequenas variações na saída; então podemos primeiro passar ao limite dentro da composição (calcular o limite de g) e depois aplicar f ao resultado.
  • Exemplinho rápido para fixar: \lim_{x\to 3}\sin(x+1)=\sin\bigl(\lim_{x\to 3}(x+1)\bigr)=\sin(4), porque \sin é contínua.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema: identificar a função externa e a função interna.
  • Função externa: f(u)=e^{u}. Explicação: f recebe um número u e retorna e^{u}.
  • Função interna: g(x)=x^{2}-4x+4.
    Agora precisamos mostrar duas coisas simples para usar o teorema:
  1. Calcular \lim_{x\to 2} g(x).
  2. Verificar que f(u)=e^{u} é contínua no valor obtido em 1).

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 2} g(x) de forma bem direta e didática.
  • Primeiro fatoramos o polinômio (uma técnica útil que muitas vezes simplifica limites):
x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2}.
  • Agora calcule o limite usando isso:
\lim_{x\to 2} g(x) = \lim_{x\to 2} (x-2)^{2}.
  • Razone: quando x\to 2, a quantidade x-2 tende a 0. Como a função h(t)=t^{2} é contínua em 0 (é um polinômio), temos
\lim_{x\to 2} (x-2)^{2} = (\,\lim_{x\to 2} (x-2)\,)^{2} = 0^{2} = 0.
Portanto concluímos que
\lim_{x\to 2} g(x) = 0.

Passo 5

Verificar continuidade da exponencial e aplicar o teorema de composição.
  • A função f(u)=e^{u} é contínua para todo u\in\mathbb{R}. Isso é um fato padrão: a exponencial não apresenta quebras nem assíntotas e pequenos desvios em u produzem pequenos desvios em e^{u}.
  • Como \lim_{x\to 2} g(x)=0 e f é contínua em 0, pelo teorema de continuidade de funções compostas:
\lim_{x\rightarrow 2} e^{x^{2}-4x+4} = e^{\lim_{x\rightarrow 2} (x^{2}-4x+4)} = e^{0}.

Resposta

1

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