Calcule os limites abaixo usando o teorema de continuidade de funções compostas:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas e o que é solicitado:
- A função cuja limite queremos é a exponencial composta
. - O que se pede: o valor numérico do limite
. - Observação: o expoente é a expressão polinomial
.
Passo 2
Explicação do teorema de continuidade de funções compostas (a ferramenta que vamos usar).
- Definição informal de continuidade: dizer que uma função
é contínua em um ponto significa que, quando a entrada se aproxima de , os valores se aproximam de . Em símbolos: contínua em implica
- Teorema de continuidade de funções compostas (forma prática): se
tem limite e é contínua em , então
- Intuição curta e útil para a prova: como
é contínua, pequenas variações em sua entrada causam pequenas variações na saída; então podemos primeiro passar ao limite dentro da composição (calcular o limite de ) e depois aplicar ao resultado. - Exemplinho rápido para fixar:
, porque é contínua.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema: identificar a função externa e a função interna.
- Função externa:
. Explicação: recebe um número e retorna . - Função interna:
.
Agora precisamos mostrar duas coisas simples para usar o teorema:
- Calcular
. - Verificar que
é contínua no valor obtido em 1).
Passo 4
Calcular
de forma bem direta e didática.
- Primeiro fatoramos o polinômio (uma técnica útil que muitas vezes simplifica limites):
- Agora calcule o limite usando isso:
- Razone: quando
, a quantidade tende a . Como a função é contínua em (é um polinômio), temos
Portanto concluímos que
Passo 5
Verificar continuidade da exponencial e aplicar o teorema de composição.
- A função
é contínua para todo . Isso é um fato padrão: a exponencial não apresenta quebras nem assíntotas e pequenos desvios em produzem pequenos desvios em . - Como
e é contínua em , pelo teorema de continuidade de funções compostas: