Mostre que a equação
possui uma infinidade de soluções inteiras.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a equação diofantina
possui uma infinidade de soluções inteiras
.
Informações relevantes dadas (explicitamente ou implícitas):
Informações relevantes dadas (explicitamente ou implícitas):
- Queremos soluções inteiras (isto é,
). - Há ao menos a solução trivial
. - A tarefa é mostrar que existem indefinidamente muitas soluções, não apenas uma ou duas.
Passo 2
Ideia do método (explicada passo a passo, sem jargões): vamos usar um truque muito simples e poderoso — trabalhar com números da forma
e uma função chamada norma, que transforma cada número dessa forma num inteiro. Definimos a norma de
por
Vou mostrar duas coisas básicas sobre essa norma que são fáceis de checar e fundamentais:
- A norma é multiplicativa: para quaisquer inteiros
vale
- Se encontrarmos um número
com , então todas as potências terão norma e, ao expandi-las, fornecerão soluções inteiras da equação.
Agora demonstro (1) de forma direta.
Passo 3
Prova direta da multiplicatividade da norma (sem usar teoria abstrata): calcule o produto
Aplicando a definição da norma a esse produto,
Se expandirmos e simplificarmos (é só álgebra direta), os termos mistos se cancelam e obtemos
Portanto a norma é multiplicativa, como prometido.
Passo 4
Encontrar uma unidade com norma
. Verificamos que
ou seja,
. Isso é ótimo:
tem norma
. Pelo item anterior, para todo
vale
Escrevendo
com
inteiros (explico na próxima etapa porque são inteiros), temos imediatamente
Assim cada potência de
fornece uma solução inteira da equação.
Passo 5
Por que
tem a forma
com
? Isso é claro por indução: para
é verdade (
). Suponha
com inteiros
. Então
logo
e
são inteiros. Assim por indução todos os
são inteiros. As fórmulas de recorrência acima também permitem computar soluções explicitamente.
Passo 6
As soluções obtidas são distintas e infinitas. Observações simples:
- Para
temos , que dá a solução . - Para
temos . - Para
calculando com a fórmula ou elevando obtemos
isto é,
.
- Em geral
(pois ), logo cresce com e os pares são diferentes para diferentes . Consequentemente, temos uma infinidade de soluções distintas da equação.
Passo 7
Resumo final do construtor explícito: para todo inteiro
defina
por
Então
e
Assim a equação possui infinitas soluções inteiras; exemplos iniciais são
Resposta
Para todo
, os inteiros
definidos por
satisfazem
. Logo a equação
tem infinitas soluções inteiras (por exemplo
).