Mostre que as equações abaixo não são exatas mas tornam-se exatas quando multiplicadas pelo fator integrante
dado. Resolva as equações assim obtidas.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que podemos reescrever em forma diferencial como
O conteúdo é “equação exata” e “fator integrante”. Vamos testar exatidão e, em seguida, usar o fator integrante dado
.
Passo 2
Primeiro verificamos se a equação original é exata, calculando
como
, não é exata. Agora multiplicamos tudo por
:
Passo 3
Verificamos a exatidão da nova equação
:
os dois parciais coincidem, logo a equação é exata.
Passo 4
Procuramos a função potencial
tal que
e
.
Integramos em :
Integramos em
Derivando em
e igualando a
:
Integramos em
:
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