Mostre que as equações abaixo não são exatas mas tornam-se exatas quando multiplicadas pelo fator integrante μ(x, y) dado. Resolva as equações assim obtidas.
\left.x^{2} y^{3}+x\left(1+y^{2}\right) y^{\prime}=0\right) ; \quad μ(x, y)=1 / x y^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^{2}y^{3}+x(1+y^{2})\,y'=0
que podemos reescrever em forma diferencial como
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, \quad M(x,y)=x^{2}y^{3},\; N(x,y)=x(1+y^{2}).
O conteúdo é “equação exata” e “fator integrante”. Vamos testar exatidão e, em seguida, usar o fator integrante dado \mu(x,y)=\frac{1}{x\,y^{3}}.

Passo 2

Primeiro verificamos se a equação original é exata, calculando
\frac{\partial M}{\partial y} =3x^{2}y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =1+y^{2},
como 3x^{2}y^{2}\neq1+y^{2}, não é exata. Agora multiplicamos tudo por \mu:
\tilde M=M\,\mu =\;x^{2}y^{3}\cdot\frac{1}{x\,y^{3}}=x, \qquad \tilde N=N\,\mu =\;x(1+y^{2})\cdot\frac{1}{x\,y^{3}} =\frac{1+y^{2}}{y^{3}}.

Passo 3

Verificamos a exatidão da nova equação \tilde M\,dx+\tilde N\,dy=0:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x}=0,
os dois parciais coincidem, logo a equação é exata.

Passo 4

Procuramos a função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_{x}=\tilde M=x e \Psi_{y}=\tilde N=(1+y^{2})/y^{3}.
Integramos em x:
\Psi(x,y)=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+h(y).
Derivando em y e igualando a \tilde N:
\Psi_{y}=h'(y)=\frac{1+y^{2}}{y^{3}} =y^{-3}+y^{-1}.
Integramos em y:
h(y)=\int\bigl(y^{-3}+y^{-1}\bigr)\,dy =-\frac{1}{2y^{2}}+\ln\lvert y\rvert +C.
Logo
\Psi(x,y) =\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2y^{2}}+\ln\lvert y\rvert =\text{const}.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2y^{2}}+\ln\lvert y\rvert=C.

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