Prove que o limite existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)}(x+2 y)=a+2 b

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y)=x+2y satisfaz
\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=a+2b.
O conteúdo envolvido é prova de limite de função de duas variáveis via definição \varepsilon - \delta. Precisamos mostrar que, dado \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|\,f(x,y)-(a+2b)\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Começamos analisando a diferença entre o valor de f em (x,y) e o valor no ponto (a,b):
\bigl|\,f(x,y)-(a+2b)\bigr| =\bigl|(x+2y)-(a+2b)\bigr| =\bigl|(x-a)+2(y-b)\bigr|.

Passo 3

Usamos a desigualdade triangular e, em seguida, relacionamos \lvert x-a\rvert e \lvert y-b\rvert com a distância euclidiana d=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}:
\bigl|(x-a)+2(y-b)\bigr| \le |x-a|+2\,|y-b| \le d + 2\,d =3d.

Passo 4

Para garantir 3d<\varepsilon, basta exigir d<\varepsilon/3. Logo, escolhemos
\delta = \frac{\varepsilon}{3}.
Assim, sempre que
0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta
teremos
\bigl|f(x,y)-(a+2b)\bigr|\le 3\,d <3\cdot\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon,
o que comprova o limite.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(a,b)}(x+2y)=a+2b.

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