Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas se tornam exatas multiplicadas pelo fator integrante dado. Resolva então as equações;
x^{3} y^{3}+x(1+y^{2}) y^{\prime}=0, \mu(x, y)=\frac{1}{x y^{3}}\

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{3}y^{3} + x(1+y^{2})y' = 0
e o fator integrante proposto
\mu(x,y)=\frac{1}{x y^{3}}.
O que se pede:
  • Mostrar que a equação original não é exata.
  • Mostrar que, ao multiplicá-la por \mu(x,y), a forma resultante é exata.
  • Resolver a equação resultante (ou seja, encontrar a solução geral implícita).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está na forma M(x,y)+N(x,y)y'=0, equivalente à forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • O fator integrante dado é \mu(x,y)=\dfrac{1}{x y^{3}}.
  • Note que \mu exige x\neq0 e y\neq0 no domínio considerado (pois aparece 1/x e 1/y^3).

Passo 2

Escrever a equação em forma diferencial e verificar se é exata.
Identificamos
M(x,y)=x^{3}y^{3},\qquad N(x,y)=x(1+y^{2}).
A definição prática de exatidão: a forma M\,dx+N\,dy é exata se, num domínio onde M e N têm derivadas parciais contínuas, vale
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{3}\big)=3x^{3}y^{2},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x(1+y^{2})\big)=1+y^{2}.
Como 3x^{3}y^{2} não é igual a 1+y^{2} em geral, concluímos que a equação original NÃO é exata.

Passo 3

Multiplicar a equação pelo fator integrante dado e verificar exatidão.
Multiplicando M e N por \mu(x,y)=\dfrac{1}{x y^{3}} obtemos as novas funções
\tilde{M}(x,y)=\mu M=\frac{1}{x y^{3}}\cdot x^{3}y^{3}=x^{2},
\tilde{N}(x,y)=\mu N=\frac{1}{x y^{3}}\cdot x(1+y^{2})=\frac{1+y^{2}}{y^{3}}.
Agora calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial \tilde{M}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\big)=0,
\frac{\partial \tilde{N}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1+y^{2}}{y^{3}}\right)=0,
pois \tilde{N} depende só de y. Como as duas derivadas parciais coincidem, a forma
\tilde{M}\,dx+\tilde{N}\,dy = x^{2}\,dx+\frac{1+y^{2}}{y^{3}}\,dy
é exata no domínio x\neq0,\\ y\neq0. Portanto o fator integrante anunciado torna a equação exata.

Passo 4

Resolver a equação exata: encontrar a função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\tilde{M}(x,y)=x^{2}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\tilde{N}(x,y)=\frac{1+y^{2}}{y^{3}}.
Integramos a primeira igualdade em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar (análogo a “constante de integração” que pode depender de y).

Passo 5

Determinar h(y) usando a segunda igualdade.
Calcule \partial \Phi/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = h'(y).
Mas sabemos que \partial \Phi/\partial y deve ser igual a \tilde{N}(x,y)=\dfrac{1+y^{2}}{y^{3}}. Assim
h'(y)=\frac{1+y^{2}}{y^{3}}.
Agora integramos em relação a y:
h(y)=\int \left(\frac{1+y^{2}}{y^{3}}\right)\,dy = \int \big(y^{-3}+y^{-1}\big)\,dy.
Calcule as integrais separadamente:
\int y^{-3}\,dy = \int y^{-3}\,dy = -\frac{1}{2}y^{-2} = -\frac{1}{2y^{2}},
\int y^{-1}\,dy = \ln|y|.
Portanto
h(y) = -\frac{1}{2y^{2}} + \ln|y| + C_1,
onde C_1 é constante.

Passo 6

Escrever a função potencial completa e a solução implícita.
Com h(y) encontrado,
\Phi(x,y)=\frac{x^{3}}{3} -\frac{1}{2y^{2}} + \ln|y| + C_1.
A condição de exatidão implica que \Phi(x,y) é constante ao longo das soluções, então a solução geral implícita (absorvendo C_1 em uma constante C) é
\frac{x^{3}}{3} -\frac{1}{2y^{2}} + \ln|y| = C,
com x\neq0 e y\neq0 (domínio onde \mu e as operações feitas são válidas).

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{2y^{2}}+\ln|y|=C

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