Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas se tornam exatas multiplicadas pelo fator integrante dado. Resolva então as equações;
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e o fator integrante proposto
O que se pede:
- Mostrar que a equação original não é exata.
- Mostrar que, ao multiplicá-la por
, a forma resultante é exata. - Resolver a equação resultante (ou seja, encontrar a solução geral implícita).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está na forma
, equivalente à forma diferencial . - O fator integrante dado é
. - Note que
exige e no domínio considerado (pois aparece e ).
Passo 2
Escrever a equação em forma diferencial e verificar se é exata.
Identificamos
Identificamos
A definição prática de exatidão: a forma
é exata se, num domínio onde
e
têm derivadas parciais contínuas, vale
Calculemos as derivadas parciais:
Como
não é igual a
em geral, concluímos que a equação original NÃO é exata.
Passo 3
Multiplicar a equação pelo fator integrante dado e verificar exatidão.
Multiplicando e
por
obtemos as novas funções
Multiplicando
Agora calcule as derivadas parciais:
pois
depende só de
. Como as duas derivadas parciais coincidem, a forma
é exata no domínio
. Portanto o fator integrante anunciado torna a equação exata.
Passo 4
Resolver a equação exata: encontrar a função potencial
tal que
Integramos a primeira igualdade em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função de
a determinar (análogo a “constante de integração” que pode depender de
).
Passo 5
Determinar
usando a segunda igualdade.
Calcule a partir da expressão obtida:
Calcule
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Assim
Agora integramos em relação a
:
Calcule as integrais separadamente:
Portanto
onde
é constante.
Passo 6
Escrever a função potencial completa e a solução implícita.
Com encontrado,
Com
A condição de exatidão implica que
é constante ao longo das soluções, então a solução geral implícita (absorvendo
em uma constante
) é
com
e
(domínio onde
e as operações feitas são válidas).