Prove que para todo
tem-se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado
e um número real . - É preciso provar a desigualdade
para todo
com
(a desigualdade também vale em
com igualdade, mas o enunciado exclui
).
Passo 2
Ideia do método que vamos usar (sem entrar ainda nos detalhes técnicos): definir a função
calcular suas derivadas em
, provar que a segunda derivada é sempre não negativa (isso mostra que
é convexa) e então usar o desenvolvimento de Taylor (fórmula do resto na forma de Lagrange) centrado em
. Esse desenvolvimento dá
para algum
entre
e
. Se
então o termo do resto é
e a desigualdade desejada segue.
Passo 3
Calcular
e
e verificar o sinal de
.
Usando a regra da potência para derivadas,
Note que
é um número par (pois
). Para qualquer real
e qualquer inteiro par
vale
. Portanto
para todo
. Como
, obtemos
Isso mostra que
é convexa em
.
Passo 4
Aplicar o teorema do resto de Lagrange (ou o fato de que uma função convexa está acima de sua reta tangente): pelo desenvolvimento de Taylor com resto na forma de Lagrange, para o ponto
existe
entre
e
tal que
Como mostramos no Passo 3 que
, segue que
. Portanto
Agora calculamos
e
:
Assim obtemos
para todo
. Isso prova a desigualdade pedida. (Para
a desigualdade é estrita na maioria dos casos; em
tem-se igualdade.)
Passo 5
Comentário didático curto (como lembrar na prova): a desigualdade é exatamente a afirmação de que a função
fica sempre acima da reta tangente em
. Isso vale porque a segunda derivada é não negativa (potência par no expoente faz o segundo termo da derivada não mudar de sinal). Se quiser uma alternativa sem derivadas, dá para usar o teorema do binômio + emparelhamento dos termos e argumentos sobre potências pares, mas a prova com convexidade/Taylor é mais direta e curta.