Prove que para todo x \neq 0, x \in \mathbb{R} tem-se (1+x)^{2 n} \geqslant 1+2 n x, n \in N

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado n\in\mathbb{N} e um número real x\neq 0.
  • É preciso provar a desigualdade
(1+x)^{2n}\geqslant 1+2n x,
para todo x\in\mathbb{R} com x\neq 0 (a desigualdade também vale em x=0 com igualdade, mas o enunciado exclui x=0).

Passo 2

Ideia do método que vamos usar (sem entrar ainda nos detalhes técnicos): definir a função
f(t)=(1+t)^{2n},
calcular suas derivadas em t, provar que a segunda derivada é sempre não negativa (isso mostra que f é convexa) e então usar o desenvolvimento de Taylor (fórmula do resto na forma de Lagrange) centrado em 0. Esse desenvolvimento dá
f(x)=f(0)+f'(0)\,x+\tfrac{1}{2}f''(\xi)\,x^2
para algum \xi entre 0 e x. Se f''(\xi)\ge0 então o termo do resto é \ge0 e a desigualdade desejada segue.

Passo 3

Calcular f'(t) e f''(t) e verificar o sinal de f''(t).
Usando a regra da potência para derivadas,
f'(t)=2n(1+t)^{2n-1},
f''(t)=2n(2n-1)(1+t)^{2n-2}.
Note que 2n-2 é um número par (pois 2n-2=2(n-1)). Para qualquer real a e qualquer inteiro par m\ge0 vale a^{m}\ge0. Portanto (1+t)^{2n-2}\ge0 para todo t\in\mathbb{R}. Como 2n(2n-1)>0, obtemos
f''(t)=2n(2n-1)(1+t)^{2n-2}\ge0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Isso mostra que f é convexa em \mathbb{R}.

Passo 4

Aplicar o teorema do resto de Lagrange (ou o fato de que uma função convexa está acima de sua reta tangente): pelo desenvolvimento de Taylor com resto na forma de Lagrange, para o ponto 0 existe \xi entre 0 e x tal que
f(x)=f(0)+f'(0)\,x+\tfrac{1}{2}f''(\xi)\,x^2.
Como mostramos no Passo 3 que f''(\xi)\ge0, segue que \tfrac{1}{2}f''(\xi)\,x^2\ge0. Portanto
f(x)\ge f(0)+f'(0)\,x.
Agora calculamos f(0) e f'(0):
f(0)=(1+0)^{2n}=1,\qquad f'(0)=2n(1+0)^{2n-1}=2n.
Assim obtemos
(1+x)^{2n}=f(x)\ge 1+2n x,
para todo x\in\mathbb{R}. Isso prova a desigualdade pedida. (Para x\neq0 a desigualdade é estrita na maioria dos casos; em x=0 tem-se igualdade.)

Passo 5

Comentário didático curto (como lembrar na prova): a desigualdade é exatamente a afirmação de que a função t\mapsto(1+t)^{2n} fica sempre acima da reta tangente em t=0. Isso vale porque a segunda derivada é não negativa (potência par no expoente faz o segundo termo da derivada não mudar de sinal). Se quiser uma alternativa sem derivadas, dá para usar o teorema do binômio + emparelhamento dos termos e argumentos sobre potências pares, mas a prova com convexidade/Taylor é mais direta e curta.

Resposta

(1+x)^{2n}\geqslant 1+2n x para todo x\in\mathbb{R} e todo n\in\mathbb{N}.

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