Mostre que as equações diferenciais são homogêneas e resolva.
\left(x^{2}-x y+y^{2}\right) d x-x y d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)\,dx - x y\,dy = 0
e pede duas coisas: (1) mostrar que a equação é homogênea e (2) resolvê‑la. Vou listar o que temos de forma clara:
  • A equação está dada em forma diferencial envolvendo x, y, dx e dy.
  • Não há condição inicial; então buscamos a solução geral (com constante de integração).
  • É preciso mostrar a homogeneidade e então usar a técnica apropriada para resolver.

Passo 2

O que significa ser homogênea (explicação didática)?
  • Uma razão do tipo \dfrac{F(x,y)}{G(x,y)} é chamada homogênea de grau n se, para todo t,
F(tx,ty)=t^{n}F(x,y)\quad\text{e}\quad G(tx,ty)=t^{n}G(x,y).
  • Para equações na forma \dfrac{dy}{dx}=H\!\left(\dfrac{y}{x}\right) ou \dfrac{dy}{dx}=H\!\left(\dfrac{x}{y}\right) costuma‑se dizer que a equação é homogênea de ordem zero (ou apenas homogênea), porque a razão depende apenas da razão y/x (ou x/y).
Agora aplicamos isso ao nosso caso. Colocando em forma de derivada:
(x^{2}-x y+y^{2})\,dx = x y\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x y}.
Observe que o numerador x^{2}-x y+y^{2} é um polinômio homogêneo de grau 2 (cada termo tem grau 2) e o denominador x y também é de grau 2. Logo a razão inteira é homogênea de grau 0, isto é, depende apenas de \dfrac{y}{x} (ou de \dfrac{x}{y}). Portanto a equação é homogênea. Conclusão: podemos usar a substituição padrão y = u x (onde u é função de x).

Passo 3

Fazendo a substituição y=u x. Primeiro escrevo a derivada de y:
y = u(x)\,x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx},
porque derivada de u(x)x pelo produto dá u + x u'.
Agora substituo y=ux na razão do lado direito:
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}-x(ux)+(ux)^{2}}{x(ux)}.
Calculo o numerador e denominador em termos de u:
\text{numerador}=x^{2}-u x^{2}+u^{2}x^{2}=x^{2}(1-u+u^{2}), \qquad \text{denominador}=x^{2}u.
Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}(1-u+u^{2})}{x^{2}u}=\frac{1-u+u^{2}}{u}.
Mas do lado esquerdo temos \dfrac{dy}{dx}=u + x\dfrac{du}{dx}. Igualando:
u + x\frac{du}{dx}=\frac{1-u+u^{2}}{u}.

Passo 4

Simplifico a equação para obter uma equação separável em u e x. Primeiro escrevo o lado direito em partes:
\frac{1-u+u^{2}}{u}=\frac{1}{u}-1+u.
Logo
u + x\frac{du}{dx}=u +\left(\frac{1}{u}-1\right).
Cancelando u dos dois lados:
x\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}-1.
Escrevo numa forma separável:
\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{u}-1\right)=\frac{1-u}{u}\cdot\frac{1}{x}.
Agora separo variáveis levando termos com u para a esquerda e com x para a direita:
\frac{u}{1-u}\,du=\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integro ambos os lados. Antes faço uma pequena manipulação da função para integrar de forma simples:
\frac{u}{1-u} = -1 + \frac{1}{1-u},
pois -1+\dfrac{1}{1-u}=\dfrac{-1(1-u)+1}{1-u}=\dfrac{u}{1-u}.
Assim a integral à esquerda é
\int \frac{u}{1-u}\,du=\int\left(-1+\frac{1}{1-u}\right)du = -u -\ln|1-u| + C_1.
A integral à direita é
\int \frac{dx}{x}=\ln|x| + C_2.
Igualando as primitivas (absorvendo constantes numa só constante C):
- u - \ln|1-u| = \ln|x| + C.
Multiplico por -1 e reorganizo:
u + \ln|1-u| = -\ln|x| + C' .
Posso juntar o log com \ln|x|:
u + \ln\!\big(|x|(1-u)\big)=C',
onde C' é constante arbitrária. Lembro que u=\dfrac{y}{x}. Substituindo de volta:
\frac{y}{x} + \ln\!\big(|x|\big(1-\tfrac{y}{x}\big)\big)=C'.
Simplificando o argumento do log:
|x|\Big(1-\frac{y}{x}\Big)=|x|\frac{x-y}{x}=|x-y|.
Portanto a solução implícita simplifica para
\frac{y}{x} + \ln|x-y| = C,
onde C é constante arbitrária.
Observações importantes (didáticas e úteis na prova):
  • A solução está implícita; isolar y explicitamente em função de x exigiria resolver uma equação transcendental (não necessário nem prático para a maioria dos problemas).
  • Domínio: exige x\neq 0 (usamos y=ux) e x-y\neq 0 nos pontos onde o log está definido; a constante C e o sinal do log determinam os ramos admissíveis.

Passo 6

Verificação rápida (opcional mas didática): derivando implicitamente
\frac{y}{x} + \ln|x-y|=C
com respeito a x e simplificando, obtém‑se exatamente a equação original
(x^{2}-x y+y^{2})\,dx - x y\,dy = 0,
o que confirma a correção da solução geral encontrada.

Resposta

\dfrac{y}{x} + \ln|x-y| = C

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