Mostre que as equações diferenciais são homogêneas e resolva.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede duas coisas: (1) mostrar que a equação é homogênea e (2) resolvê‑la. Vou listar o que temos de forma clara:
- A equação está dada em forma diferencial envolvendo
, , e . - Não há condição inicial; então buscamos a solução geral (com constante de integração).
- É preciso mostrar a homogeneidade e então usar a técnica apropriada para resolver.
Passo 2
O que significa ser homogênea (explicação didática)?
- Uma razão do tipo
é chamada homogênea de grau se, para todo ,
- Para equações na forma
ou costuma‑se dizer que a equação é homogênea de ordem zero (ou apenas homogênea), porque a razão depende apenas da razão (ou ).
Agora aplicamos isso ao nosso caso. Colocando em forma de derivada:
Observe que o numerador
é um polinômio homogêneo de grau
(cada termo tem grau
) e o denominador
também é de grau
. Logo a razão inteira é homogênea de grau
, isto é, depende apenas de
(ou de
). Portanto a equação é homogênea. Conclusão: podemos usar a substituição padrão
(onde
é função de
).
Passo 3
Fazendo a substituição
. Primeiro escrevo a derivada de
:
porque derivada de
pelo produto dá
.
Agora substituo
na razão do lado direito:
Calculo o numerador e denominador em termos de
:
Portanto
Mas do lado esquerdo temos
. Igualando:
Passo 4
Simplifico a equação para obter uma equação separável em
e
. Primeiro escrevo o lado direito em partes:
Logo
Cancelando
dos dois lados:
Escrevo numa forma separável:
Agora separo variáveis levando termos com
para a esquerda e com
para a direita:
Passo 5
Integro ambos os lados. Antes faço uma pequena manipulação da função para integrar de forma simples:
pois
.
Assim a integral à esquerda é
A integral à direita é
Igualando as primitivas (absorvendo constantes numa só constante
):
Multiplico por
e reorganizo:
Posso juntar o log com
:
onde
é constante arbitrária. Lembro que
. Substituindo de volta:
Simplificando o argumento do log:
Portanto a solução implícita simplifica para
onde
é constante arbitrária.
Observações importantes (didáticas e úteis na prova):
- A solução está implícita; isolar
explicitamente em função de exigiria resolver uma equação transcendental (não necessário nem prático para a maioria dos problemas). - Domínio: exige
(usamos ) e nos pontos onde o log está definido; a constante e o sinal do log determinam os ramos admissíveis.
Passo 6
Verificação rápida (opcional mas didática): derivando implicitamente
com respeito a
e simplificando, obtém‑se exatamente a equação original
o que confirma a correção da solução geral encontrada.