Verifique que às equações são equações diferencias exatas e resolva.
\left(2 x \cos y-e^{x}\right) d x-x^{2} \operatorname{sen} y d y=0. Calcule a solução particular para x=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(2x\cos y - e^{x}\right)\,dx - x^{2}\sin y\,dy = 0
e pede dois itens: (1) verificar que é uma equação diferencial exata e (2) resolver a equação, calculando a solução particular correspondente a x=0.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • Coeficiente de dx: M(x,y)=2x\cos y - e^{x}.
  • Coeficiente de dy: N(x,y)=-x^{2}\sin y.
  • O objetivo final é obter a solução (implícita ou explícita) e avaliar a solução particular que satisfaça a condição indicada por x=0.

Passo 2

O que significa ser uma equação exata e como eu verifico isso (mini-aula)?
  • Uma equação diferencial no formato
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata em uma região se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
  • Uma condição prática e necessária (e suficiente localmente) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Isto surge porque, se \Phi existe, então derivando \partial\Phi/\partial x=M em relação a y \partial^2\Phi/(\partial y\partial x), que deve coincidir com derivar \partial\Phi/\partial y=N em relação a x.
Agora aplico isso ao problema: compute as derivadas parciais.

Passo 3

Calcular \partial M/\partial y e \partial N/\partial x.
Primeiro,
M(x,y)=2x\cos y - e^{x}.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial M}{\partial y} =2x\cdot(-\sin y) - 0 =-2x\sin y.
Segundo,
N(x,y)=-x^{2}\sin y.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial N}{\partial x} =-2x\sin y.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=-2x\sin y=\frac{\partial N}{\partial x},
a condição de exatidão vale. Portanto a equação é exata. (Verificação concluída.)

Passo 4

Como resolver uma equação exata (mini-aula rápida):
  • Se a equação é exata, existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N.
  • Integro M em relação a x (tratando y como constante) para obter \Phi(x,y) até uma função “constante” que depende só de y.
  • Depois comparo \Phi_y com N para determinar essa função de y.
Aplicando: integrar M em x.

Passo 5

Integrar M(x,y) em relação a x:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx =\int \left(2x\cos y - e^{x}\right)\,dx.
Trato \cos y como constante ao integrar em x:
\int 2x\cos y\,dx = \cos y\int 2x\,dx = \cos y\cdot x^{2}.
E
\int -e^{x}\,dx = -e^{x}.
Portanto, com uma função arbitrária de y, escrevo
\Phi(x,y)=x^{2}\cos y - e^{x} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 6

Determinar h(y) comparando \Phi_y com N.
Calculo \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\cos y - e^{x} + h(y)\big) =-x^{2}\sin y + h'(y).
Mas sabemos que \Phi_y deve ser igual a N(x,y)=-x^{2}\sin y. Igualando:
-x^{2}\sin y + h'(y) = -x^{2}\sin y.
Daí segue que
h'(y)=0 \quad\Rightarrow\quad h(y)=C,
onde C é constante real.

Passo 7

Escrever a solução geral (implícita).
Com h(y)=C obtemos a função potencial
\Phi(x,y)=x^{2}\cos y - e^{x} + C.
A solução implícita da equação exata é dada por \Phi(x,y)=\text{constante}. Podemos agrupar a constante no lado direito; assim a solução geral é
x^{2}\cos y - e^{x} = C.

Passo 8

Calcular a solução particular para x=0.
Substituo x=0 na solução geral para obter o valor da constante C. Usando x=0:
0^{2}\cos y - e^{0} = C \quad\Rightarrow\quad 0 - 1 = C \quad\Rightarrow\quad C=-1.
Portanto a solução particular que corresponde à condição indicada por x=0 é
x^{2}\cos y - e^{x} = -1.
Observação importante (didática e prática): ao substituir x=0 a igualdade vale para qualquer y (pois o termo x^{2}\cos y anula). Isso significa que a reta vertical x=0 (com y arbitrário) é uma solução do problema (verificação direta na equação inicial: para x=0 a equação dá -dx=0\Rightarrow dx=0, ou seja, x constante). Para interpretar x^{2}\cos y - e^{x}=-1 como y dado em função de x é preciso cuidar: nem para todo x existe y real porque \cos y está limitado a [-1,1]. O enunciado pediu a solução particular "para x=0", e a constante resultante é C=-1, o que dá a curva implícita acima e, em particular, inclui a reta x=0.

Resposta

A equação é exata.
Solução geral: x^{2}\cos y - e^{x} = C.
Solução particular para x=0: x^{2}\cos y - e^{x} = -1.

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