Verifique que às equações são equações diferencias exatas e resolva.
. Calcule a solução particular para
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede dois itens: (1) verificar que é uma equação diferencial exata e (2) resolver a equação, calculando a solução particular correspondente a
.
Informações fornecidas que vamos usar:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - O objetivo final é obter a solução (implícita ou explícita) e avaliar a solução particular que satisfaça a condição indicada por
.
Passo 2
O que significa ser uma equação exata e como eu verifico isso (mini-aula)?
- Uma equação diferencial no formato
é exata em uma região se existe uma função
tal que
- Uma condição prática e necessária (e suficiente localmente) é
Isto surge porque, se
existe, então derivando
em relação a
dá
, que deve coincidir com derivar
em relação a
.
Agora aplico isso ao problema: compute as derivadas parciais.
Passo 3
Calcular
e
.
Primeiro,
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Segundo,
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Como
a condição de exatidão vale. Portanto a equação é exata. (Verificação concluída.)
Passo 4
Como resolver uma equação exata (mini-aula rápida):
- Se a equação é exata, existe
com e . - Integro
em relação a (tratando como constante) para obter até uma função “constante” que depende só de . - Depois comparo
com para determinar essa função de .
Aplicando: integrar
em
.
Passo 5
Integrar
em relação a
:
Trato
como constante ao integrar em
:
E
Portanto, com uma função arbitrária de
, escrevo
onde
é uma função a determinar.
Passo 6
Determinar
comparando
com
.
Calculo
:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando:
Daí segue que
onde
é constante real.
Passo 7
Escrever a solução geral (implícita).
Com
obtemos a função potencial
A solução implícita da equação exata é dada por
. Podemos agrupar a constante no lado direito; assim a solução geral é
Passo 8
Calcular a solução particular para
.
Substituo
na solução geral para obter o valor da constante
. Usando
:
Portanto a solução particular que corresponde à condição indicada por
é
Observação importante (didática e prática): ao substituir
a igualdade vale para qualquer
(pois o termo
anula). Isso significa que a reta vertical
(com
arbitrário) é uma solução do problema (verificação direta na equação inicial: para
a equação dá
, ou seja,
constante). Para interpretar
como
dado em função de
é preciso cuidar: nem para todo
existe
real porque
está limitado a
. O enunciado pediu a solução particular "para
", e a constante resultante é
, o que dá a curva implícita acima e, em particular, inclui a reta
.
Resposta
A equação é exata.
Solução geral:
Solução particular para
: