Mostre que as equações diferenciais são homogêneas e resolva.
2 x(x+y) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) d y

Passo 1

O enunciado dá a expressão
2x(x+y)\,dx + (x^{2}+y^{2})\,dy
e pede duas coisas: (i) mostrar que a equação diferencial é homogênea; (ii) resolver a equação diferencial (isto é, encontrar a solução geral). As informações relevantes que temos são os coeficientes das diferenciais:
  • M(x,y)=2x(x+y)=2x^{2}+2xy,
  • N(x,y)=x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Mostrar que a equação é homogênea significa verificar que M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo \lambda,
f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{k}f(x,y).
Verificando os graus:
M(\lambda x,\lambda y)=2(\lambda x)(\lambda x+\lambda y)=2\lambda^{2}x(x+y)=\lambda^{2}M(x,y),
N(\lambda x,\lambda y)=(\lambda x)^{2}+(\lambda y)^{2}=\lambda^{2}(x^{2}+y^{2})=\lambda^{2}N(x,y).
Portanto M e N são homogêneas de grau 2. Conclusão: a equação diferencial é homogênea (os dois coeficientes têm mesmo grau).

Passo 3

Para resolver uma equação homogênea do tipo M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é conveniente usar a substituição
y=vx\quad\text{ou}\quad v=\frac{y}{x}.
Explicando a ideia: com y=vx a razão y/x vira uma função de v apenas, e a equação se reduz a uma ODE para v em função de x. Calculamos
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx},
pois y=vx implica dy/dx = v + x dv/dx.

Passo 4

Escrevemos a equação diferencial na forma explícita \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{M}{N}:
\frac{dy}{dx}=-\frac{2x(x+y)}{x^{2}+y^{2}}.
Agora substituímos y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx}:
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{2x(x+vx)}{x^{2}+v^{2}x^{2}}.
Simplificamos o lado direito, fatorando x^{2}:
-\frac{2x^{2}(1+v)}{x^{2}(1+v^{2})}=-\frac{2(1+v)}{1+v^{2}}.
Logo a ODE para v(x) fica
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{2(1+v)}{1+v^{2}}.

Passo 5

Isolamos x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=-\frac{2(1+v)}{1+v^{2}}-v.
Colocando em um único quociente:
-\frac{2(1+v)}{1+v^{2}}-v=-\frac{2(1+v)+v(1+v^{2})}{1+v^{2}} =-\frac{2+2v+v+v^{3}}{1+v^{2}} =-\frac{2+3v+v^{3}}{1+v^{2}}.
Portanto
x\frac{dv}{dx}=-\frac{2+3v+v^{3}}{1+v^{2}}.
Separando variáveis:
\frac{1+v^{2}}{-(2+3v+v^{3})}\,dv=\frac{dx}{x}.
Reescrevendo o sinal:
-\frac{1+v^{2}}{v^{3}+3v+2}\,dv=\frac{dx}{x}.

Passo 6

Agora integramos os dois lados. Observação útil (muito usada em integrais racionais): a derivada do polinômio v^{3}+3v+2 é
\frac{d}{dv}\bigl(v^{3}+3v+2\bigr)=3(v^{2}+1).
Perceba que o numerador 1+v^{2} é proporcional a essa derivada: 1+v^{2}=\tfrac{1}{3}\,(3(v^{2}+1)). Assim a integral do lado esquerdo simplifica bastante:
\int -\frac{1+v^{2}}{v^{3}+3v+2}\,dv =-\frac{1}{3}\int\frac{3(v^{2}+1)}{v^{3}+3v+2}\,dv =-\frac{1}{3}\ln\bigl|v^{3}+3v+2\bigr| + C_{1}.
A integral do lado direito é
\int\frac{dx}{x}=\ln|x| + C_{2}.
Igualando e combinando constantes (definindo C apropriado):
-\frac{1}{3}\ln\bigl|v^{3}+3v+2\bigr|=\ln|x| + C.

Passo 7

Manipulamos a expressão para obter uma forma mais explícita. Multiplicando por -3:
\ln\bigl|v^{3}+3v+2\bigr|=-3\ln|x| + C',
onde C'=-3C. Usando propriedades de logaritmo:
\ln\bigl(|v^{3}+3v+2|\bigr)+\ln\bigl(|x|^{3}\bigr)=C'
\ln\bigl(|x|^{3}|v^{3}+3v+2|\bigr)=C'.
Exponenciando e absorvendo o sinal no constante geral C, obtemos a solução implícita
x^{3}\bigl(v^{3}+3v+2\bigr)=C.
Voltando à variável original y com v=\dfrac{y}{x}:
x^{3}\Bigl(\frac{y^{3}}{x^{3}}+3\frac{y}{x}+2\Bigr)=C.
Simplificando:
y^{3}+3x^{2}y+2x^{3}=C,
onde C é constante arbitrária. Esta é a solução geral implícita da equação diferencial.

Resposta

y^{3}+3x^{2}y+2x^{3}=C

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