Mostre que as equações diferenciais são homogêneas e resolva. 2 x(x+y) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) d y
Passo 1
O enunciado dá a expressão
2x(x+y)\,dx + (x^{2}+y^{2})\,dy
e pede duas coisas: (i) mostrar que a equação diferencial é homogênea; (ii) resolver a equação diferencial (isto é, encontrar a solução geral). As informações relevantes que temos são os coeficientes das diferenciais:
M(x,y)=2x(x+y)=2x^{2}+2xy,
N(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Passo 2
Mostrar que a equação é homogênea significa verificar que M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo \lambda,
Agora integramos os dois lados. Observação útil (muito usada em integrais racionais): a derivada do polinômio v^{3}+3v+2 é
\frac{d}{dv}\bigl(v^{3}+3v+2\bigr)=3(v^{2}+1).
Perceba que o numerador 1+v^{2} é proporcional a essa derivada: 1+v^{2}=\tfrac{1}{3}\,(3(v^{2}+1)). Assim a integral do lado esquerdo simplifica bastante: