(a) Mostre que, com uma escolha adequada da coordenada
, a Lagrangiana do sistema é
(b) Dadas as condições iniciais
e
, encontre a solução da equação de movimento.
© Discuta os distintos tipos de movimentos possíveis.
© Discuta os distintos tipos de movimentos possíveis.
Passo 1
Beleza, então o exercício é sobre uma partícula que desliza sem atrito num bastão que gira com velocidade angular constante ω num plano vertical, sob ação da gravidade. A ideia é usar Lagrangeana pra descrever isso e depois achar a equação de movimento e resolver.
Conteúdo: mecânica analítica – Lagrangiana e equação de Euler–Lagrange, além de resolver uma equação diferencial forçada (resonância).
O que vamos precisar:
Conteúdo: mecânica analítica – Lagrangiana e equação de Euler–Lagrange, além de resolver uma equação diferencial forçada (resonância).
O que vamos precisar:
- Escolher coordenada adequada (r, distância ao pivô).
- Escrever energia cinética T e potencial V em termos de r e t.
- Montar L = T − V.
- Aplicar Euler–Lagrange para achar a EDO.
- Resolver a EDO forçada com condições iniciais.
Passo 2
Primeiro T e V.
- A partícula se afasta do pivô com velocidade radial
e tangencial . Então
- A altura vertical da partícula varia porque o bastão gira: se num dado instante o bastão faz ângulo
com a horizontal, a coordenada vertical é . Logo o potencial gravitacional é
Portanto a Lagrangiana
que é justamente o que o enunciado pedia.
Passo 3
Agora a equação de Euler–Lagrange em
:
Calculando cada termo:
, então
E
.
Logo a EDO fica
Logo a EDO fica
Perceba que é um oscilador forçado com frequência de forçamento igual à própria
: temos ressonância.
Passo 4
Agora vamos resolver
,
com e
.
com
- Solução homogênea:
- Solução particular por ressonância: como o forçamento
bate com a frequência natural, tentamos
Derivando e inserindo na EDO, acha-se
Logo
- Solução geral
- Ajustando condições iniciais:
-
-
. Calculando e avaliando em dá
Portanto
Passo 5
Discussão dos movimentos:
- Como o forçamento tem frequência igual à natural, aparece o termo
que cresce sem limite com . - Isso significa que, mesmo saindo de
parado, a amplitude do movimento em aumenta continuamente (“ressonância”). - Não há regime permanentemente periódico e limitado: o deslizamento ao longo do bastão fica cada vez maior.
Resposta
(a)
(b) A solução é
(b) A solução é
© Devido à ressonância (
), aparece um termo que cresce linearmente em
, fazendo a amplitude de
crescer sem limite.