(a) Mostre que, com uma escolha adequada da coordenada r, a Lagrangiana do sistema é
L=12 m(dotr^2+omega^2 r^2)-m g r sen omega t
(b) Dadas as condições iniciais r(0)=r0 e dotr(0)=0, encontre a solução da equação de movimento.
© Discuta os distintos tipos de movimentos possíveis.

Passo 1

Beleza, então o exercício é sobre uma partícula que desliza sem atrito num bastão que gira com velocidade angular constante ω num plano vertical, sob ação da gravidade. A ideia é usar Lagrangeana pra descrever isso e depois achar a equação de movimento e resolver.
Conteúdo: mecânica analítica – Lagrangiana e equação de Euler–Lagrange, além de resolver uma equação diferencial forçada (resonância).
O que vamos precisar:
  1. Escolher coordenada adequada (r, distância ao pivô).
  2. Escrever energia cinética T e potencial V em termos de r e t.
  3. Montar L = T − V.
  4. Aplicar Euler–Lagrange para achar a EDO.
  5. Resolver a EDO forçada com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro T e V.
  • A partícula se afasta do pivô com velocidade radial T = tfrac12 ml(dot r^2 + (romega)^2r) e tangencial V = mgz = mg,rsin(omega t) . Então
L = T - V = tfrac12 ml(dot r^2 + omega^2 r^2r) ;-; mg,rsin(omega t),
  • A altura vertical da partícula varia porque o bastão gira: se num dado instante o bastão faz ângulo com a horizontal, a coordenada vertical é . Logo o potencial gravitacional é
Portanto a Lagrangiana
que é justamente o que o enunciado pedia.

Passo 3

Agora a equação de Euler–Lagrange em ddtl(partial Lpartialdot rr) - partial Lpartial r = 0 :
ddt(mdot r) = mddot r
Calculando cada termo:
mddot r - l(momega^2 r - mgsin(omega t)r) = 0 ;;Longrightarrow;; ddot r + omega^2 r = gsin(omega t) , então
E
.
Logo a EDO fica
Perceba que é um oscilador forçado com frequência de forçamento igual à própria : temos ressonância.

Passo 4

Agora vamos resolver
rh(t) = Acos(omega t) + Bsin(omega t) ,
com rp(t) = C,tcos(omega t) e C = -g2omega .
  1. Solução homogênea:
rp(t) = -g2omega,tcos(omega t)
  1. Solução particular por ressonância: como o forçamento r(t) = Acos(omega t) + Bsin(omega t) - g2omega,tcos(omega t) bate com a frequência natural, tentamos
dot r(0) = B,omega - g2omega = 0 ;;Longrightarrow;; B = g2omega^2
Derivando e inserindo na EDO, acha-se
boxed% r(t) = r0cos(omega t) + g2omega^2sin(omega t) - g2omega,tcos(omega t)
Logo
  1. Solução geral
  1. Ajustando condições iniciais:
  • . Calculando e avaliando em
Portanto

Passo 5

Discussão dos movimentos:
  • Como o forçamento tem frequência igual à natural, aparece o termo que cresce sem limite com .
  • Isso significa que, mesmo saindo de parado, a amplitude do movimento em aumenta continuamente (“ressonância”).
  • Não há regime permanentemente periódico e limitado: o deslizamento ao longo do bastão fica cada vez maior.

Resposta

(a) r(t) = r0cos(omega t) + g2omega^2sin(omega t) - g2omega,tcos(omega t)
(b) A solução é
© Devido à ressonância ( ç), aparece um termo que cresce linearmente em , fazendo a amplitude de crescer sem limite.

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