Mostre que se, num espaço vetorial normado, a sequência xnn=1^infty converge para x, então a sequência 2 xn+1n=1^infty converge para 2 x+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, em um espaço vetorial normado, se uma sequência xn converge para x, então a sequência 2xn + 1 também converge, e o limite dessa nova sequência é 2x + 1. Vamos precisar entender o que significa convergência de sequências em espaços normados e como as operações sobre as sequências afetam seus limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência xn convergir para x em um espaço vetorial normado. Isso quer dizer que, para todo número pequeno epsilon > 0, existe um número N tal que, para todo n >= N, a norma |xn - x| < epsilon. Em palavras, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de x conforme n aumenta.

Passo 3

Agora, queremos analisar a sequência 2xn + 1. Para mostrar que ela converge para 2x + 1, vamos usar a propriedade da linearidade das funções em espaços vetoriais normados. Isso significa que operações como multiplicação por escalar e adição se comportam de maneira previsível em relação aos limites das sequências.

Passo 4

Vamos calcular a diferença entre o termo geral da nova sequência e o seu possível limite:
| (2xn + 1) - (2x + 1) | = | 2xn - 2x | = 2|xn - x|
Aqui, usamos a propriedade da norma que permite tirar o escalar 2 para fora da norma.

Passo 5

Sabemos que xn converge para x, ou seja, |xn - x| < epsilon para n suficientemente grande. Multiplicando ambos os lados por 2, temos 2|xn - x| < 2epsilon. Isso mostra que | (2xn + 1) - (2x + 1) | < 2epsilon para n grande o suficiente.

Passo 6

Como 2epsilon também é um número positivo arbitrário, podemos concluir que a sequência 2xn + 1 satisfaz a definição de convergência para 2x + 1.

Resposta

Portanto, a sequência 2xn + 1n=1^infty converge para 2x + 1.

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