Mostre que se, num espaço vetorial normado, a sequência
converge para
, então a sequência
converge para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, em um espaço vetorial normado, se uma sequência
converge para
, então a sequência
também converge, e o limite dessa nova sequência é
. Vamos precisar entender o que significa convergência de sequências em espaços normados e como as operações sobre as sequências afetam seus limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência
convergir para
em um espaço vetorial normado. Isso quer dizer que, para todo número pequeno
, existe um número
tal que, para todo
, a norma
. Em palavras, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, queremos analisar a sequência
. Para mostrar que ela converge para
, vamos usar a propriedade da linearidade das funções em espaços vetoriais normados. Isso significa que operações como multiplicação por escalar e adição se comportam de maneira previsível em relação aos limites das sequências.
Passo 4
Vamos calcular a diferença entre o termo geral da nova sequência e o seu possível limite:
Aqui, usamos a propriedade da norma que permite tirar o escalar 2 para fora da norma.
Passo 5
Sabemos que
converge para
, ou seja,
para
suficientemente grande. Multiplicando ambos os lados por 2, temos
. Isso mostra que
para
grande o suficiente.
Passo 6
Como
também é um número positivo arbitrário, podemos concluir que a sequência
satisfaz a definição de convergência para
.
Resposta
Portanto, a sequência
converge para
.