Mostre que a série an=sumi=1^n 12^i é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a série $ a_{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^{i}} $ é convergente. Isso está relacionado ao conteúdo de séries geométricas, que são sequências onde cada termo é um múltiplo constante do termo anterior. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a soma de uma série geométrica e aplicar essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos aqui. A série é $ a_{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^{i}} $. Isso significa que estamos somando termos que começam em $ \frac{1}{2} $ e cada termo seguinte é a metade do anterior. Por exemplo, os primeiros termos são $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, $ e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica finita. Se temos uma série com primeiro termo $ a_1 $ e razão $ r $, a soma dos $ n $ primeiros termos é dada por:
a1
No nosso caso, o primeiro termo $ a_1 $ é $ \frac{1}{2} $ e a razão $ r $ é também $ \frac{1}{2} $, porque cada termo é metade do anterior.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com nossos valores:
Sn = 12 cdot 1 - (12)^n1 - 12 = 12 cdot 1 - 12^n12 = 1 - 12^n
Então, a soma dos $ n $ primeiros termos é $ 1 - \frac{1}{2^{n}} $.

Passo 5

Para mostrar que a série é convergente, precisamos olhar o limite dessa soma quando $ n $ vai para o infinito:
n
Porque $ \frac{1}{2^{n}} $ tende a zero conforme $ n $ aumenta.

Resposta

A série $ a_{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^{i}} $ é convergente e seu limite é igual a 1.

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