Mostre que para a estrutura cristalina cúbica de corpo centrado e cúbica de faces centradas o comprimento da aresta da célula unitária (a) e o raio atômico ( R ) estão relacionados respectivamente através das expressões:
a=\frac{4 R}{\sqrt{3}} \quad e \quad a=2 . R \sqrt{2}
Utilize a as expressões anteriormente para calcular o volume da célula unitária do cromo e do alumínio
Metal Estrutura Cristalina { }^{a} Raio Atômico { }^{b} (nm) Metal Estrutura Cristalina Raio Atômico (nm)
Alumínio CFC 0,1431 Níquel CFC 0,1246
Cádmio HC 0,1490 Ouro CFC 0,1442
Chumbo CFC 0,1750 Platina CFC 0,1387
Cobalto HC 0,1253 Prata CFC 0,1445
Cobre CFC 0,1278 Tântalo CCC 0,1430
Cromo CCC 0,1249 Titânio ( \alpha ) HC 0,1445
Ferro ( \alpha ) CCC 0,1241 Tungstênio CCC 0,1371
Molibdênio CCC 0,1363 Zinco HC 0,1332

  1. { }^{a} \mathrm{CFC}= cúbica de faces centradas; \mathrm{HC}= hexagonal compacta; \mathrm{CCC}= cúbica de corpo centrado.
    { }^{b} \mathrm{Um} nanômetro (nm) equivale a 10-9 m; para converter de nanômetros para unidades de angstrons ( \AA ), multiplicar o valor em nanômetros por 10 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar as relações entre o comprimento da aresta da cela unitária a e o raio atômico R para as estruturas cúbica de corpo centrado (CCC, também chamada BCC) e cúbica de faces centradas (CFC, também chamada FCC):
a=\frac{4R}{\sqrt{3}}\quad\text{(CCC)}\qquad\text{e}\qquad a=2\sqrt{2}\,R\quad\text{(CFC)}
  • Usar essas expressões para calcular o volume da célula unitária do cromo e do alumínio, usando os valores da tabela.
Peguei os dados da tabela do enunciado:
  • Para o cromo (estrutura CCC): R_{\mathrm{Cr}}=0,1249\\ \mathrm{nm}.
  • Para o alumínio (estrutura CFC): R_{\mathrm{Al}}=0,1431\\ \mathrm{nm}.
A partir daqui vou deduzir as fórmulas geométricas e depois calcular a e o volume V=a^{3} para cada metal.

Passo 2

Dedução da relação para a estrutura cúbica de corpo centrado (CCC / BCC).
Explicando a geometria com calma:
  • Em uma cela cúbica de aresta a a diagonal do cubo (a chamada diagonal espacial ou diagonal do corpo) tem comprimento \sqrt{3}\,a. Isto vem da distância entre os pontos (0,0,0) e (a,a,a): pelo teorema de Pitágoras em 3D, a norma é \sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3}\,a.
  • Na estrutura CCC há um átomo no centro do cubo e átomos nos oito cantos. Se eu olhar ao longo da diagonal do corpo, encontro no centro dessa diagonal o átomo do corpo e nos dois extremos os átomos de canto. Para átomos idênticos, quando eles “tocam” ao longo dessa linha, a distância entre o centro de um canto e o centro do átomo central vale 2R (um raio de um átomo mais um raio do outro). Como há dois desses segmentos (canto→centro e centro→canto oposto), a diagonal do corpo mede 2R+2R=4R.
    Portanto a igualdade geométrica é:
\sqrt{3}\,a=4R.
Isolando a obtemos a relação:
a=\frac{4R}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Dedução da relação para a estrutura cúbica de faces centradas (CFC / FCC).
Explicando a geometria com calma:
  • Na cela cúbica a diagonal de uma face (por exemplo, da face no plano xy) tem comprimento \sqrt{2}\,a. Isto vem da distância entre (0,0,0) e (a,a,0): \sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}\,a.
  • Na estrutura CFC há átomos nos cantos e um átomo no centro de cada face. Se olharmos ao longo da diagonal de uma face, encontramos três centros de átomos alinhados: canto → centro da face → canto oposto. Cada segmento canto→centro_face corresponde à distância entre centros de duas esferas que se tocam, isto é 2R. Há dois desses segmentos ao longo da diagonal da face, então a diagonal da face mede 2R+2R=4R.
    Logo:
\sqrt{2}\,a=4R.
Isolando a obtemos:
a=\frac{4R}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,R.

Passo 4

Fórmula do volume da célula unitária e unidades.
  • A cela cúbica tem volume
V=a^{3}.
  • Vou calcular a em \mathrm{nm} (porque R está dado em \mathrm{nm}), calcular V em \mathrm{nm}^{3} e também converter para \mathrm{m}^{3} usando 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}\Rightarrow 1\\ \mathrm{nm}^{3}=10^{-27}\\ \mathrm{m}^{3}. Para referência, para converter para \text{\AA}^{3} (ângstrons cúbicos) usa-se 1\\ \mathrm{nm}=10\\ \text{\AA}, então 1\\ \mathrm{nm}^{3}=1000\\ \text{\AA}^{3}.

Passo 5

Cálculo numérico para o cromo (estrutura \mathrm{CCC}, R_{\mathrm{Cr}}=0,1249\\ \mathrm{nm}).
Primeiro a:
a_{\mathrm{Cr}}=\frac{4R_{\mathrm{Cr}}}{\sqrt{3}} =\frac{4\cdot 0,1249}{\sqrt{3}}.
Calculemos:
4\cdot 0,1249=0,4996, \qquad \sqrt{3}\approx 1,73205,
a_{\mathrm{Cr}}\approx\frac{0,4996}{1,73205}\approx 0,2885\\ \mathrm{nm}.
Agora o volume da cela:
V_{\mathrm{Cr}}=a_{\mathrm{Cr}}^{3}\approx (0,2885)^{3}\approx 0,02402\\ \mathrm{nm}^{3}.
Conversões:
V_{\mathrm{Cr}}\approx 0,02402\\ \mathrm{nm}^{3}=0,02402\times 10^{-27}\\ \mathrm{m}^{3}\approx 2,40\times 10^{-29}\\ \mathrm{m}^{3}.
Em \text{\AA}^{3}:
V_{\mathrm{Cr}}\approx 0,02402\\ \mathrm{nm}^{3}=0,02402\times 1000\\ \text{\AA}^{3}\approx 24,02\\ \text{\AA}^{3}.

Passo 6

Cálculo numérico para o alumínio (estrutura \mathrm{CFC}, R_{\mathrm{Al}}=0,1431\\ \mathrm{nm}).
Primeiro a:
a_{\mathrm{Al}}=2\sqrt{2}\,R_{\mathrm{Al}}.
Calculemos:
2\sqrt{2}\approx 2{,}828427,\qquad 2{,}828427\cdot 0,1431\approx 0,4048\\ \mathrm{nm}.
Portanto
a_{\mathrm{Al}}\approx 0,4048\\ \mathrm{nm}.
Agora o volume da cela:
V_{\mathrm{Al}}=a_{\mathrm{Al}}^{3}\approx (0,4048)^{3}\approx 0,06635\\ \mathrm{nm}^{3}.
Conversões:
V_{\mathrm{Al}}\approx 0,06635\\ \mathrm{nm}^{3}=0,06635\times 10^{-27}\\ \mathrm{m}^{3}\approx 6,64\times 10^{-29}\\ \mathrm{m}^{3}.
Em \text{\AA}^{3}:
V_{\mathrm{Al}}\approx 0,06635\\ \mathrm{nm}^{3}=0,06635\times 1000\\ \text{\AA}^{3}\approx 66,35\\ \text{\AA}^{3}.

Resposta

Cromo (CCC, R=0,1249\\ \mathrm{nm}): V_{\mathrm{Cr}}\approx 0,02402\\ \mathrm{nm}^{3}=2,40\times10^{-29}\\ \mathrm{m}^{3}=24,02\\ \text{\AA}^{3}
Alumínio (CFC, R=0,1431\\ \mathrm{nm}): V_{\mathrm{Al}}\approx 0,06635\\ \mathrm{nm}^{3}=6,64\times10^{-29}\\ \mathrm{m}^{3}=66,35\\ \text{\AA}^{3}

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