Mostre que para a estrutura cristalina cúbica de corpo centrado e cúbica de faces centradas o comprimento da aresta da célula unitária (a) e o raio atômico (
) estão relacionados respectivamente através das expressões:
Utilize a as expressões anteriormente para calcular o volume da célula unitária do cromo e do alumínio
Metal
Estrutura Cristalina
Raio Atômico
(nm)
Metal
Estrutura Cristalina
Raio Atômico (nm)
Alumínio
CFC
0,1431
Níquel
CFC
0,1246
Cádmio
HC
0,1490
Ouro
CFC
0,1442
Chumbo
CFC
0,1750
Platina
CFC
0,1387
Cobalto
HC
0,1253
Prata
CFC
0,1445
Cobre
CFC
0,1278
Tântalo
CCC
0,1430
Cromo
CCC
0,1249
Titânio (
)
HC
0,1445
Ferro (
)
CCC
0,1241
Tungstênio
CCC
0,1371
Molibdênio
CCC
0,1363
Zinco
HC
0,1332
-
cúbica de faces centradas;
hexagonal compacta;
cúbica de corpo centrado.
nanômetro (nm) equivale a 10-9 m; para converter de nanômetros para unidades de angstrons (
), multiplicar o valor em nanômetros por 10 .
| Metal | Estrutura Cristalina
|
Raio Atômico
|
Metal | Estrutura Cristalina | Raio Atômico (nm) |
| Alumínio | CFC | 0,1431 | Níquel | CFC | 0,1246 |
| Cádmio | HC | 0,1490 | Ouro | CFC | 0,1442 |
| Chumbo | CFC | 0,1750 | Platina | CFC | 0,1387 |
| Cobalto | HC | 0,1253 | Prata | CFC | 0,1445 |
| Cobre | CFC | 0,1278 | Tântalo | CCC | 0,1430 |
| Cromo | CCC | 0,1249 | Titânio (
|
HC | 0,1445 |
| Ferro (
|
CCC | 0,1241 | Tungstênio | CCC | 0,1371 |
| Molibdênio | CCC | 0,1363 | Zinco | HC | 0,1332 |
cúbica de faces centradas; hexagonal compacta; cúbica de corpo centrado.
nanômetro (nm) equivale a 10-9 m; para converter de nanômetros para unidades de angstrons ( ), multiplicar o valor em nanômetros por 10 .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar as relações entre o comprimento da aresta da cela unitária
e o raio atômico para as estruturas cúbica de corpo centrado (CCC, também chamada BCC) e cúbica de faces centradas (CFC, também chamada FCC):
- Usar essas expressões para calcular o volume da célula unitária do cromo e do alumínio, usando os valores da tabela.
Peguei os dados da tabela do enunciado:
- Para o cromo (estrutura CCC):
. - Para o alumínio (estrutura CFC):
.
A partir daqui vou deduzir as fórmulas geométricas e depois calcular
e o volume
para cada metal.
Passo 2
Dedução da relação para a estrutura cúbica de corpo centrado (CCC / BCC).
Explicando a geometria com calma:
- Em uma cela cúbica de aresta
a diagonal do cubo (a chamada diagonal espacial ou diagonal do corpo) tem comprimento . Isto vem da distância entre os pontos e : pelo teorema de Pitágoras em 3D, a norma é . - Na estrutura CCC há um átomo no centro do cubo e átomos nos oito cantos. Se eu olhar ao longo da diagonal do corpo, encontro no centro dessa diagonal o átomo do corpo e nos dois extremos os átomos de canto. Para átomos idênticos, quando eles “tocam” ao longo dessa linha, a distância entre o centro de um canto e o centro do átomo central vale
(um raio de um átomo mais um raio do outro). Como há dois desses segmentos (canto→centro e centro→canto oposto), a diagonal do corpo mede .
Portanto a igualdade geométrica é:
Isolando
obtemos a relação:
Passo 3
Dedução da relação para a estrutura cúbica de faces centradas (CFC / FCC).
Explicando a geometria com calma:
- Na cela cúbica a diagonal de uma face (por exemplo, da face no plano
) tem comprimento . Isto vem da distância entre e : . - Na estrutura CFC há átomos nos cantos e um átomo no centro de cada face. Se olharmos ao longo da diagonal de uma face, encontramos três centros de átomos alinhados: canto → centro da face → canto oposto. Cada segmento canto→centro_face corresponde à distância entre centros de duas esferas que se tocam, isto é
. Há dois desses segmentos ao longo da diagonal da face, então a diagonal da face mede .
Logo:
Isolando
obtemos:
Passo 4
Fórmula do volume da célula unitária e unidades.
- A cela cúbica tem volume
- Vou calcular
em (porque está dado em ), calcular em e também converter para usando . Para referência, para converter para (ângstrons cúbicos) usa-se , então .
Passo 5
Cálculo numérico para o cromo (estrutura
,
).
Primeiro
:
Calculemos:
Agora o volume da cela:
Conversões:
Em
:
Passo 6
Cálculo numérico para o alumínio (estrutura
,
).
Primeiro
:
Calculemos:
Portanto
Agora o volume da cela:
Conversões:
Em
:
Resposta
Cromo (CCC,
):
Alumínio (CFC,
):