O tântalo (Ta) é um elemento metálico crucial na engenharia de sistemas modernos, especialmente devido à sua alta capacidade de armazenar cargas, resistência à corrosão e alto ponto de fusão. Ele é amplamente utilizado em componentes críticos que exigem alta durabilidade, estabilidade e miniatura, tornando-o essencial em eletrônicos de ponta, equipamentos médicos e sistemas aeroespaciais. Calcule o raio de um átomo de tântalo (Ta), dado que o Ta possui uma estrutura cristalina CCC, uma massa especifica de 16,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3 e um peso atomico de 180,9 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o raio atômico do tântalo:
  • Massa específica (densidade): \rho = 16,6\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Peso atômico (massa molar): M = 180,9\\ \mathrm{g/mol}.
  • Estrutura cristalina: CCC (cúbica de corpo centrado, isto é, BCC).
A pergunta é: calcular o raio atômico do átomo de tântalo a partir desses dados.

Passo 2

Idéia geral e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A densidade relaciona massa e volume da cela unitária:
\rho=\frac{m_{\text{cela}}}{V_{\text{cela}}}
onde m_{\text{cela}} é a massa contida numa cela unitária e V_{\text{cela}}=a^{3} é o volume da cela cúbica (com a sendo a aresta da cela).
  • A massa da cela é dada pelo número de átomos por cela n vezes a massa de um átomo:
m_{\text{cela}}=n\cdot\frac{M}{N_{A}},
onde M é a massa molar e N_{A} é o número de Avogadro ( N_{A}=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}).
  • Para a rede BCC (CCC), o número de átomos por cela é n=2. Explicação: há 8 átomos nos cantos, cada um contribuindo com 1/8 para a cela (total 1) mais 1 átomo no centro da cela (total 1), logo 1+1=2.
  • Relação geométrica entre a aresta a e o raio atômico r em BCC: a diagonal do cubo (comprimento a\sqrt{3}) contém 4 raios (do centro de um átomo de canto ao centro do átomo central e ao átomo de canto oposto), logo
a\sqrt{3}=4r \quad\Rightarrow\quad r=\frac{a\sqrt{3}}{4}.
Vamos usar essas fórmulas para encontrar a a partir de \rho e depois obter r.

Passo 3

Calcular a massa da cela unitária m_{\text{cela}}.
  • Usando n=2, M=180{,}9\\ \mathrm{g/mol} e N_{A}=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}:
m_{\text{cela}}=2\cdot\frac{M}{N_{A}}=2\cdot\frac{180{,}9}{6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{g}.
  • Fazer a divisão (apresentando em notação científica):
m_{\text{cela}}\approx 6{,}008\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Calcular o volume da cela V_{\text{cela}}=a^{3} a partir da densidade:
V_{\text{cela}}=\frac{m_{\text{cela}}}{\rho}=\frac{6{,}008\times10^{-22}\\ \mathrm{g}}{16{,}6\\ \mathrm{g/cm^{3}}}.
Fazendo a divisão:
V_{\text{cela}}\approx 3{,}617\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Opcional (útil para visualizar o tamanho): converter para Ångström cúbico. Como 1\\ \mathrm{cm^{3}}=10^{24}\\ \mathrm{\AA^{3}},
V_{\text{cela}}\approx 3{,}617\times10^{-23}\times10^{24}\\ \mathrm{\AA^{3}}=36{,}17\\ \mathrm{\AA^{3}}.

Passo 5

Calcular a aresta da cela a a partir de V_{\text{cela}}=a^{3}.
a= \sqrt[3]{V_{\text{cela}}}=\sqrt[3]{3{,}617\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}}.
Usando a forma em Å para facilitar a interpretação:
a=\sqrt[3]{36{,}17\\ \mathrm{\AA^{3}}}\approx 3{,}307\\ \mathrm{\AA}.
Converter para centímetros ou metros se quiser:
a\approx 3{,}307\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}=3{,}307\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Relacionar a com o raio atômico r para BCC usando a fórmula geométrica:
r=\frac{a\sqrt{3}}{4}.
Substituindo a\approx3{,}307\\ \mathrm{\AA}:
r\approx\frac{3{,}307\times\sqrt{3}}{4}\\ \mathrm{\AA}.
Calcule a raiz e a divisão:
r\approx1{,}431\\ \mathrm{\AA}.

Passo 7

Converter o raio para unidades usuais (picômetros e metros):
  • 1\\ \mathrm{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{pm}.
    Portanto
r\approx1{,}431\\ \mathrm{\AA}=1{,}431\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=143{,}1\\ \mathrm{pm}.

Resposta

r\approx1{,}431\\ \mathrm{\AA}=143{,}1\\ \mathrm{pm}=1{,}431\times10^{-10}\\ \mathrm{m}

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