Questão 2. Calcule as seguintes integrais
integral(s^3+2 s^2-5 s+5)(3 s^2+4 s-5) d s

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral l(s^3+2 s^2-5 s+5r)l(3 s^2+4 s-5r),ds
Para resolver, vamos expandir o produto de polinômios e depois aplicar a regra
integral s^n,ds = s^n+1n+1+C.

Passo 2

Expandindo e agrupando termos semelhantes:
(s^3+2 s^2-5 s+5)(3 s^2+4 s-5) &=3s^5 +4s^4 -5s^3 &+6s^4+8s^3-10s^2 &-15s^3-20s^2+25s &+15s^2+20s-25 &=3s^5 +10s^4 -12s^3 -15s^2 +45s -25

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integrall(3s^5 +10s^4 -12s^3 -15s^2 +45s -25r),ds = integral 3s^5,ds + integral 10s^4,ds + cdots + integral(-25),ds
Usando integral s^n,ds = s^n+1n+1, temos
integral 3s^5,ds &= 36s^6 = tfrac12 s^6, integral 10s^4,ds &= 105s^5 = 2s^5, integral(-12s^3),ds &= -124s^4 = -3s^4, integral(-15s^2),ds &= -153s^3 = -5s^3, integral 45s,ds &= 452s^2 = tfrac452s^2, integral(-25),ds &= -25s

Passo 4

Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos
integral (s^3+2 s^2-5 s+5)(3 s^2+4 s-5),ds = tfrac12 s^6 +2s^5 -3s^4 -5s^3 +tfrac452s^2 -25s + C

Resposta

tfrac12 s^6 +2s^5 -3s^4 -5s^3 +tfrac452s^2 -25s + C

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