(a) Se f(x)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a0, encontre uma função g tal que g^prime=f. Encontre outra.
(b) Se
f(x)=b2x^2+b3x^3+cdots+bmx^m
encontre uma função g com g^prime=f.
(c) Existe uma função
f(x)=an x^n+cdots+a0+b1x+cdots+bmx^m
tal que f^prime(x)=1 / x ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos primitivas (ou antiderivadas) de funções dadas, ou seja, funções g tais que g'(x)=f(x). No item (a) temos um polinômio; no (b) uma soma de potências negativas (sem termo x^-1); e no (c) devemos verificar se existe uma função da forma mista (polinomial mais potências negativas inclusive x^-1) cuja derivada seja 1/x. Vamos usar a regra básica de integração de potências:
integral x^k,dx = x^k+1k+1(kneq -1)

Passo 2

Para (a), seja
f(x)=an x^n + an-1 x^n-1 + cdots + a1 x + a0
Aplicando integração termo a termo, uma primitiva é
g(x) = sumi=0^n ai integral x^i,dx = sumi=0^n ai x^i+1i+1

Passo 3

Outra função cuja derivada também é f(x) difere de g(x) por uma constante. Logo,
tilde g(x)=g(x)+C
para qualquer constante C também satisfaz tilde g'(x)=f(x).

Passo 4

Para (b), temos
f(x)=b2x^2+b3x^3+cdots+bmx^m =sumk=2^m bk x^-k
Integrando termo a termo (note que -kneq -1 pois k>=2),
g(x) = sumk=2^m bk integral x^-k,dx = sumk=2^m bk x^-k+1-k+1
mais, se quisermos, podemos acrescentar +C.

Passo 5

No item (c) perguntam se existe
f(x)=an x^n+cdots+a0+b1x+cdots+bmx^m
tal que f'(x)=tfrac1x. Se derivássemos esse f, obteríamos potências do tipo x^i (para i>=0) e x^-k-1 (para k>=1). Em particular não surge termo ;x^-1; na derivada, a menos que integrássemos tfrac1x e obtivéssemos ln|x|, que não está na forma polinomial ou de potências racionais. Portanto não existe f do formato dado cuja derivada seja exatamente 1/x.

Resposta

(a) Uma primitiva é
g(x)=sumi=0^naix^i+1i+1,
e outra é g(x)+C.
(b) Uma primitiva é
g(x)=sumk=2^mbkx^-k+1-k+1
(mais constante).
(c) Não existe tal função do tipo dado; a antiderivada de 1/x é ln|x|, que não se encaixa na forma polinomial ou de potências racionais.

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