(a) Se
, encontre uma função
tal que
. Encontre outra.
(b) Se
encontre uma função
.
(c) Existe uma função
tal que
?
(b) Se
(c) Existe uma função
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos primitivas (ou antiderivadas) de funções dadas, ou seja, funções
tais que
. No item (a) temos um polinômio; no (b) uma soma de potências negativas (sem termo
); e no (c) devemos verificar se existe uma função da forma mista (polinomial mais potências negativas inclusive
) cuja derivada seja
. Vamos usar a regra básica de integração de potências:
Passo 2
Para (a), seja
Aplicando integração termo a termo, uma primitiva é
Passo 3
Outra função cuja derivada também é
difere de
por uma constante. Logo,
para qualquer constante
também satisfaz
.
Passo 4
Para (b), temos
Integrando termo a termo (note que
pois
),
mais, se quisermos, podemos acrescentar
.
Passo 5
No item (c) perguntam se existe
tal que
. Se derivássemos esse
, obteríamos potências do tipo
(para
) e
(para
). Em particular não surge termo
na derivada, a menos que integrássemos
e obtivéssemos
, que não está na forma polinomial ou de potências racionais. Portanto não existe
do formato dado cuja derivada seja exatamente
.
Resposta
(a) Uma primitiva é
e outra é
.
(b) Uma primitiva é
(b) Uma primitiva é
(mais constante).
(c) Não existe tal função do tipo dado; a antiderivada de é
, que não se encaixa na forma polinomial ou de potências racionais.
(c) Não existe tal função do tipo dado; a antiderivada de