Mostre que existe um número x tal que (x, 2,4) e (x,-2,3) são perpendiculares.

Passo 1

O enunciado pede para achar um número x de modo que os vetores
,(x,2,4) e ,(x,-2,3) sejam perpendiculares.
No contexto de vetores em R^3 (ou C^3), dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto escalar for zero.

Passo 2

Lembrando que, para u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3), o produto escalar é
ucdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3,
aplicamos isso a ,(x,2,4) e ,(x,-2,3):
(x,2,4)cdot(x,-2,3) = xcdot x ;+; 2cdot(-2);+;4cdot3 = x^2 ;-;4;+;12 = x^2 + 8

Passo 3

Impondo perpendicularidade, fazemos o produto escalar igual a zero:
x^2 + 8 = 0
Daí
x^2 = -8 Longrightarrow x = pmraiz-8 = pm 2raiz2,i

Resposta

Existem, de fato, valores de x (no conjunto dos números complexos) que tornam os vetores perpendiculares, a saber
x = 2raiz2,i ou x = -2raiz2,i
Se restrigirmos x aos reais, não há solução.

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