Mostre que
\exp \left(\frac{2+\pi i}{4}\right)=\sqrt{\frac{e}{2}}(1+i);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a seguinte igualdade é verdadeira:
\exp\!\left(\frac{2+\pi i}{4}\right)=\sqrt{\frac{e}{2}}(1+i).
Informações dadas: o número dentro da exponencial é o número complexo \dfrac{2+\pi i}{4}. A missão é transformar essa exponencial complexa numa forma explícita da parte real e imaginária e provar que ela coincide com \sqrt{\dfrac{e}{2}}(1+i).

Passo 2

Vamos usar uma propriedade fundamental da função exponencial complexa: para quaisquer números complexos z_1 e z_2 vale
\exp(z_1+z_2)=\exp(z_1)\exp(z_2).
Explicação curta e intuitiva: a igualdade vem da mesma propriedade da exponencial real e também se mantém no caso complexo porque a série de potências que define \exp(z) satisfaz \exp(z_1+z_2)=\exp(z_1)\exp(z_2). Aqui usaremos esta propriedade com z_1=\dfrac{2}{4} (parte real) e z_2=\dfrac{\pi i}{4} (parte imaginária).

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso expoente:
\exp\!\left(\frac{2+\pi i}{4}\right)=\exp\!\left(\frac{2}{4}\right)\exp\!\left(\frac{\pi i}{4}\right).
Isso apenas separa a parte real da parte imaginária da exponencial.

Passo 4

Simplifico a parte real:
\exp\!\left(\frac{2}{4}\right)=\exp\!\left(\frac{1}{2}\right)=e^{1/2}=\sqrt{e}.
Aqui usei que \exp(a)=e^{a} e que e^{1/2}=\sqrt{e}.

Passo 5

Agora preciso interpretar \exp\!\left(\dfrac{\pi i}{4}\right). Para isso uso a fórmula de Euler, que diz que, para todo \theta real,
\exp(i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta.
Explicação: essa é uma identidade básica que liga exponencial complexa às funções trigonométricas; pode ser verificada pela série de Taylor ou lembrando que e^{i\theta} corresponde a um ponto no círculo unitário com ângulo \theta.

Passo 6

Aplico a fórmula de Euler com \theta=\dfrac{\pi}{4}:
\exp\!\left(\frac{\pi i}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Lembro que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Portanto
\exp\!\left(\frac{\pi i}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).

Passo 7

Multiplico as duas partes que separei no Passo 3:
\exp\!\left(\frac{2+\pi i}{4}\right)=\sqrt{e}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).
Reescrevo o fator numérico \sqrt{e}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}. Note que \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, então
\sqrt{e}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{e}{2}}.
Essa última igualdade segue da propriedade \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}} para a,b>0.

Passo 8

Substituindo essa simplificação na expressão do Passo 7 obtemos
\exp\!\left(\frac{2+\pi i}{4}\right)=\sqrt{\frac{e}{2}}(1+i),
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

\sqrt{\dfrac{e}{2}}(1+i)

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