Mostre que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a seguinte igualdade é verdadeira:
Informações dadas: o número dentro da exponencial é o número complexo
. A missão é transformar essa exponencial complexa numa forma explícita da parte real e imaginária e provar que ela coincide com
.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade fundamental da função exponencial complexa: para quaisquer números complexos
e
vale
Explicação curta e intuitiva: a igualdade vem da mesma propriedade da exponencial real e também se mantém no caso complexo porque a série de potências que define
satisfaz
. Aqui usaremos esta propriedade com
(parte real) e
(parte imaginária).
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso expoente:
Isso apenas separa a parte real da parte imaginária da exponencial.
Passo 4
Simplifico a parte real:
Aqui usei que
e que
.
Passo 5
Agora preciso interpretar
. Para isso uso a fórmula de Euler, que diz que, para todo
real,
Explicação: essa é uma identidade básica que liga exponencial complexa às funções trigonométricas; pode ser verificada pela série de Taylor ou lembrando que
corresponde a um ponto no círculo unitário com ângulo
.
Passo 6
Aplico a fórmula de Euler com
:
Lembro que
. Portanto
Passo 7
Multiplico as duas partes que separei no Passo 3:
Reescrevo o fator numérico
. Note que
, então
Essa última igualdade segue da propriedade
para
.
Passo 8
Substituindo essa simplificação na expressão do Passo 7 obtemos
que é exatamente o que queríamos demonstrar.