Seja f(z)=u(x, y)+i v(x, y) uma função analítica em um certo domínio D. Diga se a afirmação a seguir é verdadeira (neste caso prove) ou falsa (neste caso dê um contra-exemplo): As funções U(x, y):=e^u(x, y) cos v(x, y) e V(x, y)= e^u(x, y) sen(v(x, y)) são harmônicas em D.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
U(x,y):=e^{u(x,y)}\cos v(x,y) e V(x,y):=e^{u(x,y)}\sin v(x,y)
são harmônicas em D, sabendo que f(z)=u(x,y)+i,v(x,y) é analítica em D. Vamos usar teoria de funções analíticas, em particular que partes real e imaginária de funções holomorfas são harmônicas, e a propriedade de que a composição de funções analíticas é analítica.

Passo 2

Definimos F(z)=e^{f(z)}. Como f é analítica em D e a função exp(w) é analítica em todo C, a composição
F(z)=e^f(z)
é analítica em D. Escrevendo F(z) em termos de u e v, temos
F(z)=e^u(x,y)+i,v(x,y)=e^u(x,y)l(cos v(x,y)+i,sin v(x,y)r)=U(x,y)+i,V(x,y)

Passo 3

Como F é analítica em D, suas partes real (U) e imaginária (V) são soluções da equação de Laplace em D. Logo,
Uxx+Uyy=0
e
Vxx+Vyy=0
pelo fato clássico de que funções harmônicas são exatamente as partes reais ou imaginárias de funções holomorfas. Portanto U e V são harmônicas em D.

Resposta

A afirmação é verdadeira: U e V são as partes real e imaginária de F(z)=e^{f(z)}, que é analítica em D, e portanto ambas são harmônicas.

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