Seja
uma função analítica em um certo domínio
. Diga se a afirmação a seguir é verdadeira (neste caso prove) ou falsa (neste caso dê um contra-exemplo): As funções
e
são harmônicas em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
U(x,y):=e^{u(x,y)}\cos v(x,y) e V(x,y):=e^{u(x,y)}\sin v(x,y)
são harmônicas em D, sabendo que f(z)=u(x,y)+i,v(x,y) é analítica em D. Vamos usar teoria de funções analíticas, em particular que partes real e imaginária de funções holomorfas são harmônicas, e a propriedade de que a composição de funções analíticas é analítica.
U(x,y):=e^{u(x,y)}\cos v(x,y) e V(x,y):=e^{u(x,y)}\sin v(x,y)
são harmônicas em D, sabendo que f(z)=u(x,y)+i,v(x,y) é analítica em D. Vamos usar teoria de funções analíticas, em particular que partes real e imaginária de funções holomorfas são harmônicas, e a propriedade de que a composição de funções analíticas é analítica.
Passo 2
Definimos F(z)=e^{f(z)}. Como f é analítica em D e a função exp(w) é analítica em todo
, a composição
é analítica em D. Escrevendo F(z) em termos de u e v, temos
Passo 3
Como F é analítica em D, suas partes real (U) e imaginária (V) são soluções da equação de Laplace em D. Logo,
e
pelo fato clássico de que funções harmônicas são exatamente as partes reais ou imaginárias de funções holomorfas. Portanto U e V são harmônicas em D.
Resposta
A afirmação é verdadeira: U e V são as partes real e imaginária de F(z)=e^{f(z)}, que é analítica em D, e portanto ambas são harmônicas.