Seja
uma função analítica em todo ponto de um domínio
. Prove que se
então
deve ser constante em
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos
analítica em um domínio
e sabemos que
. O que isso quer dizer? Significa que a parte imaginária de
é zero em todo ponto de
. Vamos usar as equações de Cauchy-Riemann para chegar à conclusão que
é constante.
Passo 2
Escrevemos
na forma
, onde
e
são as partes real e imaginária de
. Como
, concluímos que
para todo
em
.
Passo 3
Como
é analítica,
e
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
Substituindo
, obtemos
Isso mostra que todas as derivadas parciais de
são nulas.
Passo 4
Tendo
e
, concluímos que
é constante em cada componente conexo de
. Como
é um domínio (ou seja, aberto e conexo),
é constante em todo
. Assim,
também é constante.
Resposta
Logo,
é constante em
.