Seja f uma função analítica em todo ponto de um domínio D. Prove que se f(D) subset R então f(z) deve ser constante em D.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos f analítica em um domínio D e sabemos que f(D)subsetR. O que isso quer dizer? Significa que a parte imaginária de f é zero em todo ponto de D. Vamos usar as equações de Cauchy-Riemann para chegar à conclusão que f é constante.

Passo 2

Escrevemos f na forma f(z)=u(x,y)+iv(x,y), onde u e v são as partes real e imaginária de f. Como f(D)subsetR, concluímos que v(x,y)=0 para todo (x,y) em D.

Passo 3

Como f é analítica, u e v satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
partial upartial x = partial vpartial y, partial upartial y = -partial vpartial x
Substituindo v=0, obtemos
partial upartial x = 0, partial upartial y = 0
Isso mostra que todas as derivadas parciais de u são nulas.

Passo 4

Tendo partial upartial x=0 e partial upartial y=0, concluímos que u é constante em cada componente conexo de D. Como D é um domínio (ou seja, aberto e conexo), u é constante em todo D. Assim, f(z)=u+i0 também é constante.

Resposta

Logo, f é constante em D.

Exercícios relacionados