Mostre que a expressão da energia cinética por unidade de massa: \mathrm{Ec}=\mathrm{v}^{2} / 2 é dimensionalmente consistente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por análise dimensional, que a expressão da energia cinética por unidade de massa
\mathrm{Ec} = \frac{v^2}{2}
é consistente do ponto de vista das dimensões. Vamos usar as dimensões fundamentais: massa (M), comprimento (L) e tempo (T).

Passo 2

Analisando o membro esquerdo, temos energia cinética por unidade de massa. A dimensão de energia é
[E] = M\,L^2\,T^{-2}
e ao dividir por massa, obtemos
[\mathrm{Ec}] = \frac{[E]}{[M]} = \frac{M\,L^2\,T^{-2}}{M} = L^2\,T^{-2}.

Passo 3

No membro direito, o fator 1/2 é adimensional, então a dimensão fica a mesma de v^2. Como v é velocidade,
[v] = L\,T^{-1},
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\bigl[v^2\bigr] = (L\,T^{-1})^2 = L^2\,T^{-2}.

Passo 4

Comparando os resultados, o membro esquerdo e o direito têm ambos dimensão
L^2\,T^{-2},
portanto a expressão é dimensionalmente consistente.

Resposta

A expressão \mathrm{Ec} = v^2/2 é dimensionalmente consistente, pois ambos os lados têm dimensão L^2\,T^{-2}.

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