- Mostre que a expressão da frequência cíclotron, que é a frequência de revolução das partículas em um ciclotron é
Qual deve ser a relação dessa frequência em relação a frequência do oscilador do campo elétrico alternado?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que a frequência de revolução (frequência cíclotron) de uma partícula num ciclotron é
e (2) dizer qual deve ser a relação dessa frequência com a frequência do oscilador do campo elétrico alternado do ciclotron.
Informações/condições dadas (úteis para resolver): a partícula tem carga , massa
, move-se numa região com campo magnético uniforme de módulo
e o movimento devido ao campo magnético, nas condições do ciclotron clássico, é circular (velocidade perpendicular ao campo). Não vou resolver ainda, só listei o que o enunciado pede e os dados.
Informações/condições dadas (úteis para resolver): a partícula tem carga
Passo 2
Vamos entender qual é a força que age sobre a partícula: é a força de Lorentz. A expressão vetorial é
Aqui
é o vetor velocidade da partícula e
é o campo magnético. O módulo da força é
onde
é o ângulo entre
e
. No ciclotron consideramos a velocidade perpendicular ao campo, isto é
, então
e o módulo da força magnética fica
Expliquei o que cada símbolo significa:
carga,
rapidez da partícula,
módulo do campo magnético.
Passo 3
Para movimento circular uniforme, a força que mantém a partícula na trajetória circular é a força centrípeta. A expressão da força centrípeta é
onde
é a massa da partícula e
é o raio da órbita circular. No ciclotron a força magnética fornece exatamente essa força centrípeta, logo igualamos os módulos:
Isso é só usar que a única força perpendicular à velocidade é a magnética e ela faz a partícula girar.
Passo 4
Da equação do passo anterior podemos simplificar um fator
(assumindo
) e resolver para o raio
:
Isto nos dá o raio da órbita em função da velocidade da partícula e dos parâmetros
. Eu mostrei o passo algébrico: dividir ambos os lados por
e por
.
Passo 5
A frequência angular
de um movimento circular é dada por
Agora substituímos o valor de
que achamos no passo anterior:
Note que as velocidades
cancelam: isso é importante — a frequência angular não depende da velocidade (isso vale no regime não relativístico). Aqui
tem unidade de rad/s.
Passo 6
A frequência usual
(ciclos por segundo, Hz) está relacionada com a frequência angular por
Substituindo
obtemos a expressão desejada:
Comentário físico rápido: se
for negativo a direção da rotação é invertida; para falar em frequência positiva costuma-se usar o módulo
.
Passo 7
Agora a segunda pergunta: qual relação entre essa frequência e a frequência do oscilador do campo elétrico alternado? Vou explicar de forma prática e passo-a-passo. O ciclotron acelera a partícula quando ela atravessa a fenda entre as duas “dees”; a partícula atravessa essa fenda duas vezes a cada revolução — ou seja, a cada meia-volta ela cruza a fenda. O tempo de meia-volta é
Para que a partícula seja acelerada na fenda sempre no sentido correto, o potencial entre as dees deve trocar de sinal no tempo que a partícula leva para fazer meia-volta (assim cada travessia encontra a polaridade apropriada). Isso significa que o período do oscilador
deve ser igual ao período da volta completa
, portanto as frequências devem ser iguais:
Em palavras: o oscilador do campo elétrico deve operar na mesma frequência ciclotrônica para manter a sincronização e acelerar a partícula a cada passagem pela fenda. Observação prática: isso vale no regime não relativístico; quando a partícula fica relativística a massa efetiva aumenta e a frequência real diminui, causando perda de sincronismo (por isso o ciclotron clássico tem limite de energia).
Resposta
A frequência do oscilador deve ser igual à frequência cíclotron: