1. Mostre que a expressão da frequência cíclotron, que é a frequência de revolução das partículas em um ciclotron é
f=\frac{q B}{2 \pi m}
Qual deve ser a relação dessa frequência em relação a frequência do oscilador do campo elétrico alternado?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que a frequência de revolução (frequência cíclotron) de uma partícula num ciclotron é
f=\frac{q B}{2 \pi m},
e (2) dizer qual deve ser a relação dessa frequência com a frequência do oscilador do campo elétrico alternado do ciclotron.
Informações/condições dadas (úteis para resolver): a partícula tem carga \,q, massa \,m, move-se numa região com campo magnético uniforme de módulo \,B e o movimento devido ao campo magnético, nas condições do ciclotron clássico, é circular (velocidade perpendicular ao campo). Não vou resolver ainda, só listei o que o enunciado pede e os dados.

Passo 2

Vamos entender qual é a força que age sobre a partícula: é a força de Lorentz. A expressão vetorial é
\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Aqui \vec{v} é o vetor velocidade da partícula e \vec{B} é o campo magnético. O módulo da força é
F=q\,v\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}. No ciclotron consideramos a velocidade perpendicular ao campo, isto é \theta=90^\circ, então \sin\theta=1 e o módulo da força magnética fica
F=q\,v\,B.
Expliquei o que cada símbolo significa: \,q carga, \,v rapidez da partícula, \,B módulo do campo magnético.

Passo 3

Para movimento circular uniforme, a força que mantém a partícula na trajetória circular é a força centrípeta. A expressão da força centrípeta é
F_{\text{c}}=\frac{m v^{2}}{r},
onde \,m é a massa da partícula e \,r é o raio da órbita circular. No ciclotron a força magnética fornece exatamente essa força centrípeta, logo igualamos os módulos:
q\,v\,B=\frac{m v^{2}}{r}.
Isso é só usar que a única força perpendicular à velocidade é a magnética e ela faz a partícula girar.

Passo 4

Da equação do passo anterior podemos simplificar um fator v (assumindo v\neq0) e resolver para o raio r:
r=\frac{m v}{q B}.
Isto nos dá o raio da órbita em função da velocidade da partícula e dos parâmetros m,q,B. Eu mostrei o passo algébrico: dividir ambos os lados por q B e por v.

Passo 5

A frequência angular \omega de um movimento circular é dada por
\omega=\frac{v}{r}.
Agora substituímos o valor de r que achamos no passo anterior:
\omega=\frac{v}{\dfrac{m v}{q B}}=\frac{q B}{m}.
Note que as velocidades v cancelam: isso é importante — a frequência angular não depende da velocidade (isso vale no regime não relativístico). Aqui \omega tem unidade de rad/s.

Passo 6

A frequência usual f (ciclos por segundo, Hz) está relacionada com a frequência angular por
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega=\dfrac{q B}{m} obtemos a expressão desejada:
f=\frac{q B}{2\pi m}.
Comentário físico rápido: se q for negativo a direção da rotação é invertida; para falar em frequência positiva costuma-se usar o módulo \,f=\dfrac{|q|B}{2\pi m}.

Passo 7

Agora a segunda pergunta: qual relação entre essa frequência e a frequência do oscilador do campo elétrico alternado? Vou explicar de forma prática e passo-a-passo. O ciclotron acelera a partícula quando ela atravessa a fenda entre as duas “dees”; a partícula atravessa essa fenda duas vezes a cada revolução — ou seja, a cada meia-volta ela cruza a fenda. O tempo de meia-volta é
\frac{T}{2}=\frac{1}{2f}=\frac{\pi}{\omega}.
Para que a partícula seja acelerada na fenda sempre no sentido correto, o potencial entre as dees deve trocar de sinal no tempo que a partícula leva para fazer meia-volta (assim cada travessia encontra a polaridade apropriada). Isso significa que o período do oscilador T_{\text{osc}} deve ser igual ao período da volta completa T, portanto as frequências devem ser iguais:
f_{\text{osc}}=f.
Em palavras: o oscilador do campo elétrico deve operar na mesma frequência ciclotrônica para manter a sincronização e acelerar a partícula a cada passagem pela fenda. Observação prática: isso vale no regime não relativístico; quando a partícula fica relativística a massa efetiva aumenta e a frequência real diminui, causando perda de sincronismo (por isso o ciclotron clássico tem limite de energia).

Resposta

f=\frac{q B}{2\pi m}
A frequência do oscilador deve ser igual à frequência cíclotron: f_{\text{osc}}=f=\frac{q B}{2\pi m}

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