O pêndulo simples consiste numa massa m suspensa por um fio 'ou haste de comprimento L e massa desprezível. A massa m move-se sobre um círculo de raio L sob a ação do peso m \vec{g} e da tensão \vec{F}. Determine \omega

Passo 1

O enunciado dá: uma massa \,m, presa por um fio (ou haste) de comprimento \,L, e massa desprezível, que se move ao longo de um arco de círculo de raio \,L, sob a ação do peso \,m\vec{g}, e da tensão \vec{F}. O que nos pedem: determinar \omega (a frequência angular das oscilações).
Informações relevantes extraídas do enunciado: \,m (massa), \,L (comprimento do fio), aceleração da gravidade \,g, movimento ao longo de um círculo de raio \,L, forças atuantes são peso e tensão.

Passo 2

Escolhemos uma coordenada angular \theta medida a partir da vertical (positivo para um lado). Essa escolha é natural porque a massa descreve um arco; a posição ao longo do arco é dada por \theta. Vou desenhar mentalmente as forças: o peso \,m\vec{g} aponta para baixo; a tensão \vec{F} aponta ao longo do fio para o centro. A componente do peso que tende a fazer a massa deslizar ao longo do arco é a componente tangencial -mg\sin\theta (negativa porque tende a restaurar \theta para zero). Aqui é importante entender o que é cada variável: \theta(t) é o ângulo em função do tempo; \omega será a frequência angular associada às pequenas oscilações (unidade \,\text{rad/s}).

Passo 3

Aplicamos a segunda lei de Newton para a direção tangencial ao movimento (direção do arco). A soma das forças tangenciais vale massa vezes aceleração tangencial:
\sum F_{\text{tangencial}} = m a_{\text{tangencial}}.
A única força tangencial é a componente do peso:
-mg\sin\theta = m a_{\text{tangencial}}.

Passo 4

Relacionamos a aceleração tangencial com a aceleração angular. O deslocamento ao longo do arco é s = L\theta (porque arco de círculo: comprimento = raio × ângulo em radianos). Assim a aceleração tangencial é a derivada segunda de s:
a_{\text{tangencial}} = \ddot{s} = L\ddot{\theta},
onde \ddot{\theta} é a derivada segunda de \theta em relação ao tempo (ou seja, \ddot{\theta}=d^2\theta/dt^2). Substituindo em -mg\sin\theta = m a_{\text{tangencial}} obtemos:
-mg\sin\theta = m L \ddot{\theta}.

Passo 5

Simplificamos (dividindo por m, que é diferente de zero) e escrevemos a equação do movimento:
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.
Essa é uma equação diferencial não linear em \theta. Ela descreve exatamente o pêndulo simples para qualquer amplitude, mas não é trivial de resolver em forma fechada para \theta(t). Para extrair uma frequência angular constante \omega usamos uma aproximação física habitual em provas: a aproximação de pequenos ângulos.

Passo 6

Explico a aproximação de pequenos ângulos: quando \theta é pequeno (em radianos), a função seno pode ser aproximada pela sua expansão de Taylor:
\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \cdots.
Para |\theta| pequeno os termos de ordem \theta^3 e superiores são desprezíveis, então tomamos \sin\theta \approx \theta. Isso lineariza a equação e corresponde ao regime de pequenas oscilações (situação mais comum em exercícios de prova). Observação prática: “pequeno” costuma significar até umas \,10^\circ \,15^\circ para boa precisão, e é expresso em radianos na série.

Passo 7

Aplicando \sin\theta \approx \theta na equação do passo 5 obtemos a equação diferencial linear:
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0.
Essa é a equação do oscilador harmônico simples. A forma geral de um oscilador harmônico é
\ddot{x} + \omega^2 x = 0,
onde \omega é a frequência angular. Comparando os dois padrões, identificamos
\omega^2 = \frac{g}{L}.

Passo 8

Como \omega é não-negativa por definição (é módulo), tomamos raiz quadrada:
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
Comentário didático: a solução da equação linear é \theta(t)=\Theta_0\cos(\omega t+\varphi), onde \Theta_0 e \varphi vêm das condições iniciais; a amplitude \Theta_0 não entra em \omega nessa aproximação linear (ou seja, a frequência é independente da amplitude para pequenas oscilações).

Resposta

\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g}{L}}

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