O pêndulo simples consiste numa massa
suspensa por um fio 'ou haste de comprimento
e massa desprezível. A massa
move-se sobre um círculo de raio
sob a ação do peso
e da tensão
. Determine
Passo 1
O enunciado dá: uma massa
, presa por um fio (ou haste) de comprimento
, e massa desprezível, que se move ao longo de um arco de círculo de raio
, sob a ação do peso
, e da tensão
. O que nos pedem: determinar
(a frequência angular das oscilações).
Informações relevantes extraídas do enunciado: (massa),
(comprimento do fio), aceleração da gravidade
, movimento ao longo de um círculo de raio
, forças atuantes são peso e tensão.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Escolhemos uma coordenada angular
medida a partir da vertical (positivo para um lado). Essa escolha é natural porque a massa descreve um arco; a posição ao longo do arco é dada por
. Vou desenhar mentalmente as forças: o peso
aponta para baixo; a tensão
aponta ao longo do fio para o centro. A componente do peso que tende a fazer a massa deslizar ao longo do arco é a componente tangencial
(negativa porque tende a restaurar
para zero). Aqui é importante entender o que é cada variável:
é o ângulo em função do tempo;
será a frequência angular associada às pequenas oscilações (unidade
).
Passo 3
Aplicamos a segunda lei de Newton para a direção tangencial ao movimento (direção do arco). A soma das forças tangenciais vale massa vezes aceleração tangencial:
A única força tangencial é a componente do peso:
Passo 4
Relacionamos a aceleração tangencial com a aceleração angular. O deslocamento ao longo do arco é
(porque arco de círculo: comprimento = raio × ângulo em radianos). Assim a aceleração tangencial é a derivada segunda de
:
onde
é a derivada segunda de
em relação ao tempo (ou seja,
). Substituindo em
obtemos:
Passo 5
Simplificamos (dividindo por
, que é diferente de zero) e escrevemos a equação do movimento:
Essa é uma equação diferencial não linear em
. Ela descreve exatamente o pêndulo simples para qualquer amplitude, mas não é trivial de resolver em forma fechada para
. Para extrair uma frequência angular constante
usamos uma aproximação física habitual em provas: a aproximação de pequenos ângulos.
Passo 6
Explico a aproximação de pequenos ângulos: quando
é pequeno (em radianos), a função seno pode ser aproximada pela sua expansão de Taylor:
Para
pequeno os termos de ordem
e superiores são desprezíveis, então tomamos
. Isso lineariza a equação e corresponde ao regime de pequenas oscilações (situação mais comum em exercícios de prova). Observação prática: “pequeno” costuma significar até umas
–
para boa precisão, e é expresso em radianos na série.
Passo 7
Aplicando
na equação do passo 5 obtemos a equação diferencial linear:
Essa é a equação do oscilador harmônico simples. A forma geral de um oscilador harmônico é
onde
é a frequência angular. Comparando os dois padrões, identificamos
Passo 8
Como
é não-negativa por definição (é módulo), tomamos raiz quadrada:
Comentário didático: a solução da equação linear é
, onde
e
vêm das condições iniciais; a amplitude
não entra em
nessa aproximação linear (ou seja, a frequência é independente da amplitude para pequenas oscilações).