Definimos nível sonoro S como S=(10 d B) \log \frac{I}{I_{0}}, sendo S dado em decibels (dB), I a intensidade de uma onda e I_{0}=10^{-12} W / m^{2}. Supondo que uma pessoa, posicionada de forma que a área de 6,0 \times 10^{-5} m^{2} de um de seus tímpanos esteja perpendicular à direção de propagação da onda, ouça um som contínuo de nível sonoro igual a 60 d B durante 5,0 s, qual é a quantidade de energia que atingiu seu tímpano nesse intervalo de tempo? (2,0)

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a quantidade de energia que atingiu o tímpano durante 5{,}0\\ \mathrm{s}.
Informações dadas (vou listar exatamente o que temos):
  • Nível sonoro: S=60\\ \mathrm{dB}.
  • Definição do nível sonoro: S=(10\\ \mathrm{dB})\log\!\dfrac{I}{I_{0}}, onde I é a intensidade da onda e I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Área do tímpano (perpendicular à onda): A=6{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}. (Peguei este valor do enunciado.)
  • Tempo de exposição: t=5{,}0\\ \mathrm{s}.
Meta intermediária clara: a energia que atinge o tímpano é a potência incidente sobre a área multiplicada pelo tempo. Assim precisamos (1) obter a intensidade I a partir de S, (2) calcular a potência P=I\cdot A que chega ao tímpano, e (3) calcular a energia E=P\cdot t.

Passo 2

Entendendo a fórmula dos decibéis e isolando I.
A definição dada expressa o nível sonoro em decibels usando o logaritmo decimal (base 10). A fórmula é
S = 10\log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right).
Aqui:
  • S é o nível sonoro em decibels ( \mathrm{dB}),
  • I é a intensidade em \mathrm{W/m^{2}},
  • I_{0} é a intensidade de referência ( 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}}).
Para obter a intensidade I em função de S, aplicamos exponenciação (transformando o log em potência):
\dfrac{I}{I_{0}} = 10^{S/10}
e portanto
I = I_{0}\,10^{S/10}.
Isso significa: cada aumento de 10\\ \mathrm{dB} corresponde a multiplicar a intensidade por 10.

Passo 3

Calcular numericamente a intensidade I usando S=60\\ \mathrm{dB} e I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Aplicando a fórmula:
I = 10^{-12}\times 10^{60/10}.
Como 60/10=6 e 10^{6}=1\,000\,000,
I = 10^{-12}\times 10^{6}=10^{-6}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Ou seja, a intensidade da onda é \,10^{-6}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 4

Calcular a potência incidente sobre o tímpano.
Potência incidente P é intensidade vezes área (porque intensidade é energia por unidade de área por unidade de tempo, ou potência por área):
P = I\cdot A.
Substituindo I=10^{-6}\\ \mathrm{W/m^{2}} e A=6{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}:
P = 10^{-6}\times (6{,}0\times 10^{-5}) .
Agrupando potências de dez e a mantissa:
P = 6{,}0\times 10^{-6-5}=6{,}0\times 10^{-11}\\ \mathrm{W}.
Expliquei: multipliquei 10^{-6} por 6{,}0 e por 10^{-5}; os expoentes somam: -6+(-5)=-11.

Passo 5

Calcular a energia total que atinge o tímpano durante t=5{,}0\\ \mathrm{s}.
Energia E é potência vezes tempo:
E = P\cdot t.
Substituindo P=6{,}0\times 10^{-11}\\ \mathrm{W} e t=5{,}0\\ \mathrm{s}:
E = (6{,}0\times 10^{-11})\times 5{,}0.
Multiplicando as mantissas 6{,}0\times 5{,}0 = 30{,}0 e mantendo a potência de dez:
E = 30{,}0\times 10^{-11}\\ \mathrm{J}.
Ajustando para notação usual (colocando a mantissa entre 1 e 10):
E = 3{,}0\times 10^{-10}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Cheque rápido e interpretação: o valor é muito pequeno porque a intensidade por unidade de área é reduzida ( 10^{-6}\\ \mathrm{W/m^{2}}) e o tímpano tem área pequena; isso é esperado. Força aí — já fez a maior parte do trabalho ao entender a relação dB → intensidade → potência → energia!

Resposta

3{,}0\times 10^{-10}\\ \mathrm{J}

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