Mostre que se f é contínua em [a, b] então existe uma função contína g em \mathbb{R} tal que g(x)=f(x), \forall x \in[a, b]. Uma tal função é chamada de extensão contínua de f a \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda função contínua f\colon [a,b]\to\mathbb{R} admite uma extensão contínua g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} que coincide com f em [a,b]. Vamos usar a ideia de prolongar f mantendo constantes os valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

Definimos g de forma piecewise em três partes:
g(x)= \begin{cases} f(a),&x<a,\\\ f(x),&x\in[a,b],\\\ f(b),&x>b. \end{cases}

Passo 3

Verificamos continuidade de g:
  1. Em cada intervalo aberto (-\infty,a), (a,b) e (b,\infty), g é constante ou igual a f, logo contínua nesses trechos.
  2. Em x=a, o limite pela esquerda é
\lim_{x\to a^-}g(x)=f(a),
e pela direita, usando continuidade de f em a,
\lim_{x\to a^+}g(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a).
Portanto \lim_{x\to a}g(x)=f(a)=g(a).
3. Em x=b, analogamente,
\lim_{x\to b^-}g(x)=\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b), \quad \lim_{x\to b^+}g(x)=f(b),
logo \lim_{x\to b}g(x)=f(b)=g(b).

Passo 4

Como g é contínua em cada pedaço e nos pontos de fronteira a e b, concluímos que g é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

Uma extensão contínua é
g(x)= \begin{cases} f(a),&x<a,\\\ f(x),&x\in[a,b],\\\ f(b),&x>b. \end{cases}

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