Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(\lambda x)=\lambda f(x) para todo x e todo \lambda \in \mathbb{R}. Mostre que f é contínua em \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado diz que f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfaz
f(\lambda x)=\lambda\,f(x)
para todo x\in\mathbb{R} e todo \lambda\in\mathbb{R}. O objetivo é mostrar que f é contínua em cada ponto de \mathbb{R}. Vamos usar a propriedade de homogeneidade para deduzir a forma de f e então concluir a continuidade.

Passo 2

Mostramos primeiro que f(0)=0. Basta tomar \lambda=0 na condição:
f(0\cdot x)=0\cdot f(x)\quad\Longrightarrow\quad f(0)=0.

Passo 3

Agora determinamos f(x) para x\neq 0. Como \lambda pode ser qualquer real, em particular podemos escrever x=\lambda\cdot1 com \lambda=x. Assim
f(x)=f\bigl(x\cdot1\bigr)=x\,f(1).
Definindo c=f(1), obtemos
\boxed{f(x)=c\,x\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.}

Passo 4

A expressão f(x)=c\,x mostra que f é a função linear de coeficiente c. Como toda função do tipo x\mapsto c\,x é polinomial de grau 1, ela é contínua em \mathbb{R}.

Resposta

A função f é da forma f(x)=c\,x com c=f(1), logo é contínua em todo \mathbb{R}.

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