Mostre que se f é positiva e derivável em um intervalo I, então
\frac{d}{d x} \ln (f(x))=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}, \quad \forall x \in I .

Passo 1

Enunciado e dados: temos uma função f que é positiva e diferenciável em um intervalo I. O que o problema pede é mostrar que, para todo x\in I,
\frac{d}{d x}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i) } f(x)>0\quad\text{para todo }x\in I,
\text{(ii) } f \text{ é diferenciável em }I\\ (\Rightarrow f\text{ é contínua em }I).éáéí
Nada mais é dado. A meta é provar a igualdade acima para cada ponto x\in I.

Passo 2

Definição de derivada (lembrando o que vamos usar): para qualquer função g diferenciável em x,
\frac{d}{d x}g(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
Aqui vamos aplicar essa definição à função g(x)=\ln(f(x)). Então
\frac{d}{d x}\ln(f(x))=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(f(x+h))-\ln(f(x))}{h}.
Esse é o ponto de partida; agora vamos transformar essa diferença usando propriedades do logaritmo.

Passo 3

Usamos a propriedade \ln(a)-\ln(b)=\ln\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr). Aplicando-a:
\frac{\ln(f(x+h))-\ln(f(x))}{h}=\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{f(x+h)}{f(x)}\bigr)}{h}.
Como f(x)>0 (dado) e f é contínua, para h pequeno f(x+h) também é positivo, então a fração dentro do \ln está bem definida. Agora definimos uma quantidade auxiliar que facilita o limite:
u_h := \frac{f(x+h)}{f(x)}-1=\frac{f(x+h)-f(x)}{f(x)}.
Com isso temos \tfrac{f(x+h)}{f(x)}=1+u_h e a expressão acima fica
\frac{\ln\!\bigl(1+u_h\bigr)}{h}.

Passo 4

Reescrevemos \dfrac{\ln(1+u_h)}{h} como um produto que separa uma razão que conhecemos do comportamento de f:
\frac{\ln(1+u_h)}{h}=\frac{\ln(1+u_h)}{u_h}\cdot\frac{u_h}{h}.
Esta fatoração é útil porque agora podemos estudar os limites dos dois fatores separadamente quando h\to 0.

Passo 5

Estudo do segundo fator \dfrac{u_h}{h}. Usando a definição de u_h,
\frac{u_h}{h}=\frac{1}{f(x)}\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Como f é diferenciável em x, sabemos que
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x).
Portanto
\lim_{h\to 0}\frac{u_h}{h}=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}.
Observe que aqui usamos também que f(x)\neq 0 (garantido por f(x)>0) para poder dividir por f(x).

Passo 6

Estudo do primeiro fator \dfrac{\ln(1+u_h)}{u_h}. Precisamos mostrar que
\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+u_h)}{u_h}=1.
Para isso note que, como f é contínua, \lim_{h\to 0}u_h=0. Assim é equivalente estudar
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Aplicamos o Teorema do Valor Médio (TVM) à função t\mapsto\ln t no intervalo que vai de 1 até 1+u (para u suficientemente pequeno, esse intervalo está dentro do domínio (0,\infty) de \ln). O TVM garante a existência de \xi entre 1 e 1+u tal que
\frac{\ln(1+u)-\ln 1}{(1+u)-1}=\frac{1}{\xi}.
Como \ln 1=0 e o denominador é u, temos
\frac{\ln(1+u)}{u}=\frac{1}{\xi}.
Quando u\to 0, o ponto \xi fica entre 1 e 1+u, logo \xi\to 1. Assim
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{1}{\xi}= \frac{1}{1}=1.
Portanto
\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+u_h)}{u_h}=1.

Passo 7

Agora juntamos os dois limites obtidos nos Passos 5 e 6. Da fatoração do Passo 4,
\frac{\ln(1+u_h)}{h}=\frac{\ln(1+u_h)}{u_h}\cdot\frac{u_h}{h}.
Tomando limite quando h\to 0 e usando que o produto de limites (quando existem) é o limite do produto, obtemos
\lim_{h\to 0}\frac{\ln(f(x+h))-\ln(f(x))}{h} =\left(\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+u_h)}{u_h}\right)\cdot\left(\lim_{h\to 0}\frac{u_h}{h}\right) =1\cdot\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}.
Pelo Passo 2 isso significa exatamente que
\frac{d}{d x}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}.

Passo 8

Comentário final rápido (estímulo): o raciocínio acima foi feito só com a definição de derivada, propriedades do logaritmo e o Teorema do Valor Médio aplicado ao \ln. Na prática, quem já conhece a regra da cadeia pode pensar: \dfrac{d}{dx}\ln(f(x))=(\ln)'(f(x))\cdot f'(x)=\dfrac{1}{f(x)}f'(x); o que fizemos aqui é a demonstração detalhada desse mesmo fato usando limites — é o jeito “sem atalho”, perfeito para prova.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{d x}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}

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