Mostre que, se
e
, então a Equação (3) tem as soluções “criticamente amortecidas”
e
. Qual é o limite dessas soluções quando
?
Passo 1
O enunciado dá os valores
,
,
e
. Pede duas coisas: (i) mostrar que as funções
e
são soluções da Equação (3) com esses parâmetros; (ii) determinar o limite dessas soluções quando
.
Passo 2
Substituindo os parâmetros na equação (assumindo a forma padrão da equação com esses parâmetros), obtemos a equação homogênea
Para resolver essa equação linear de coeficientes constantes usamos o polinômio característico associado:
Passo 3
Resolvendo o polinômio característico, calculamos o discriminante:
Como
, temos uma raiz real dupla. A raiz é
com multiplicidade
.
Passo 4
Teoria rápida e útil (explicação didática): para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, se o polinômio característico tem uma raiz dupla
, então uma base de soluções é dada por
e
. Assim, pela teoria, as funções
são soluções candidatais. Agora vamos verificar substituindo na equação (para garantir que realmente satisfazem) — é a verificação direta que o professor costuma pedir.
Passo 5
Verificação de
.
Calcule as derivadas:
Substituindo na equação:
Agrupando os coeficientes:
logo
portanto
é solução.
Passo 6
Verificação de
.
Calcule as derivadas (com atenção ao produto):
Substituindo na equação:
Agrupando termos em
e em
:
Portanto
também satisfaz a equação.
Passo 7
Conclusão das duas primeiras partes: mostramos que
e
são soluções da equação dada com os parâmetros indicados; corresponde ao caso de amortecimento crítico (raiz dupla).
Passo 8
Agora determino os limites quando
.
Primeiro,
pois
e o denominador cresce sem limite.
Segundo, para
podemos usar L’Hôpital reescrevendo como
. Aplicando L’Hôpital:
(ou, mais geralmente, qualquer polinômio em
é dominado por
quando
, então o produto polinomial vezes
tende a zero.)