( 2,0 pontos) Considere a função f(x)=\sqrt{x-2}. Utilize a definição para calcular a derivada de f no ponto onde x=3, ou seja, f^{\prime}(3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f no ponto x=3. As informações dadas são:
f(x)=\sqrt{x-2}.
Queremos f'(3), ou seja, o valor da derivada de f no ponto x=3. Observação sobre o domínio: a função está definida para x\ge2, então f(3) existe e vale \sqrt{3-2}=1.

Passo 2

Vou usar a definição de derivada no ponto a. A definição é:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando: a é o ponto onde queremos a derivada (aqui a=3). A variável h representa um pequeno incremento em x; tomamos a razão de variação média \frac{f(a+h)-f(a)}{h} e vemos o que acontece quando h tende a 0. Se esse limite existir (e for finito), esse é o valor da derivada.

Passo 3

Aplicando a definição com a=3. Primeiro calculemos f(3):
f(3)=\sqrt{3-2}=\sqrt{1}=1.
Então a razão de diferença fica
\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{\sqrt{3+h-2}-1}{h}=\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}.

Passo 4

Portanto precisamos calcular o limite
\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}.
Esse limite tem a forma \frac{0}{0} quando h\to0, então precisamos manipular algebricamente para avaliá-lo.

Passo 5

Uma técnica clássica para limites com raiz na diferença é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de \sqrt{1+h}-1 é \sqrt{1+h}+1. Multiplicando e simplificando:
\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot\frac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1} =\frac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)}.
No numerador usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2, com a=\sqrt{1+h} e b=1. Assim o numerador vira
(\sqrt{1+h})^2-1^2=(1+h)-1=h.
Logo a fração simplifica para
\frac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+h}+1},
desde que h\neq0 (mas estamos tomando limite, então a cancelamento é válido para h perto de 0 diferente de 0).

Passo 6

Agora o limite ficou simples:
\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}.
A função g(h)=\sqrt{1+h}+1 é contínua em h=0 (a raiz quadrada é contínua onde definida), então podemos passar o limite para dentro:
\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Uma observação sobre a existência do limite: como o domínio de f é x\ge2, ao fazer x=3+h temos h\ge-1. Para a definição de derivada precisamos que o limite bilateral h\to0 esteja bem definido. Aqui existem valores de h positivos e negativos arbitrariamente próximos de 0 (por exemplo h=-0,1 é permitido), então a razão de diferença está definida para h próximos de 0 à esquerda e à direita; o limite bilateral que calculamos existe e vale \tfrac{1}{2}.

Passo 8

Podemos checar rapidamente com a regra de derivação conhecida: se f(x)=\sqrt{x-2}=(x-2)^{1/2}, então formalmente f'(x)=\tfrac{1}{2}(x-2)^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{x-2}}. Avaliando em x=3 \tfrac{1}{2\sqrt{1}}=\tfrac{1}{2}, compatível com o resultado obtido pela definição.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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