( 2,0 pontos) Considere a função
. Utilize a definição para calcular a derivada de
no ponto onde
, ou seja,
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
no ponto
. As informações dadas são:
Queremos
, ou seja, o valor da derivada de
no ponto
. Observação sobre o domínio: a função está definida para
, então
existe e vale
.
Passo 2
Vou usar a definição de derivada no ponto
. A definição é:
Explicando:
é o ponto onde queremos a derivada (aqui
). A variável
representa um pequeno incremento em
; tomamos a razão de variação média
e vemos o que acontece quando
tende a
. Se esse limite existir (e for finito), esse é o valor da derivada.
Passo 3
Aplicando a definição com
. Primeiro calculemos
:
Então a razão de diferença fica
Passo 4
Portanto precisamos calcular o limite
Esse limite tem a forma
quando
, então precisamos manipular algebricamente para avaliá-lo.
Passo 5
Uma técnica clássica para limites com raiz na diferença é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Multiplicando e simplificando:
No numerador usamos a identidade
, com
e
. Assim o numerador vira
Logo a fração simplifica para
desde que
(mas estamos tomando limite, então a cancelamento é válido para
perto de
diferente de
).
Passo 6
Agora o limite ficou simples:
A função
é contínua em
(a raiz quadrada é contínua onde definida), então podemos passar o limite para dentro:
Passo 7
Uma observação sobre a existência do limite: como o domínio de
é
, ao fazer
temos
. Para a definição de derivada precisamos que o limite bilateral
esteja bem definido. Aqui existem valores de
positivos e negativos arbitrariamente próximos de
(por exemplo
é permitido), então a razão de diferença está definida para
próximos de
à esquerda e à direita; o limite bilateral que calculamos existe e vale
.
Passo 8
Podemos checar rapidamente com a regra de derivação conhecida: se
, então formalmente
. Avaliando em
dá
, compatível com o resultado obtido pela definição.