Partindo da segunda lei de Newton, obternhas as equações gerais para o movimento de partículas em 1-D, ou seja, posição
, velocidade
e aceleração
.
Passo 1
O enunciado pede: a partir da segunda lei de Newton, obter as equações gerais do movimento de uma partícula em 1‑D — isto é, as expressões que relacionam posição
, velocidade
e aceleração
.
Informações dadas (implícitas no enunciado): a massa da partícula é , a força resultante sobre a partícula é
(que, em geral, pode depender de
e ,t)), e você pode usar condições iniciais típicas
e
quando necessário.
Não há uma forma específica para no enunciado, então precisamos apresentar a formulação geral (e os casos especiais importantes que aparecem em provas).
Informações dadas (implícitas no enunciado): a massa da partícula é
Não há uma forma específica para
Passo 2
Escrevendo a segunda lei de Newton em 1‑D e definindo as variáveis.
A segunda lei de Newton diz que a massa vezes a aceleração é igual à força resultante. Em notação:
A segunda lei de Newton diz que a massa vezes a aceleração é igual à força resultante. Em notação:
Explicando as variáveis:
Relações entre posição, velocidade e aceleração (definições por derivada):
Comentário intuitivo: velocidade é a taxa de variação da posição; aceleração é a taxa de variação da velocidade.
Passo 3
Escrevendo a equação diferencial geral do movimento em 1‑D.
Substituindo na segunda lei obtemos a equação diferencial de segunda ordem:
Substituindo
Esta é a formulação geral: para achar
você precisa resolver essa EDO de segunda ordem sabendo qual é
. Em muitas provas apresentam casos específicos de
; por isso agora vamos transformar essa equação em fórmulas úteis e tratar os casos mais comuns.
Passo 4
Fórmulas integrais gerais (usando condições iniciais).
Partindo da definição de aceleração e integrando, temos a relação entre aceleração e velocidade:
Partindo da definição de aceleração e integrando, temos a relação entre aceleração e velocidade:
Usando
obtemos a forma integral para a velocidade:
onde escrevemos
. Em seguida, integrando a velocidade encontramos a posição:
Substituindo a expressão integral de
dá a forma dupla integral:
Observação importante: essas expressões são válidas sempre, mas são implícitas quando
depende de
ou
, porque
e
aparecem dentro da integral — neste caso normalmente é necessário resolver a EDO por métodos analíticos (se possível) ou numéricos.
Passo 5
Caso simples 1 — força conhecida como função do tempo:
.
Se depende apenas de
, então as integrais acima ficam explícitas porque não há dependência de
ou
dentro da integral. Temos:
Se
Exemplo muito usado (força constante
):
constante, então
Essas são as fórmulas clássicas de cinemática (úteis na prova).
Passo 6
Caso simples 2 — força depende só da posição:
(forças conservativas).
Aqui usamos a regra da cadeia para escrever a aceleração em termos de e
:
Aqui usamos a regra da cadeia para escrever a aceleração em termos de
Substituindo em
obtemos a equação separável
Integrando em
resulta na forma de conservação de energia mecânica (energia cinética relacionada à força):
Usando a constante de integração determinada pela condição inicial
temos
Dessa relação obtemos
como função de
, e depois
em função de
por separação:
Na prática: primeiro achar
pela integral da força; depois integrar
para achar
e inverter se necessário para
.
Passo 7
Caso simples 3 — força depende só da velocidade:
.
A equação de movimento fica
A equação de movimento fica
Isto é uma EDO de primeira ordem separável:
Integrando entre
e
obtemos
implicitamente (ou explicitamente se a integral puder ser resolvida). Exemplo clássico: resistência linear ao movimento
(com
):
integrando:
Depois
.
Passo 8
Caso geral linear em
e
— equação linear de segunda ordem (muito comum em provas).
Quando a força tem a forma
Quando a força tem a forma
onde
e
são constantes e
é uma força externa conhecida, a EDO torna‑se linear:
Método geral: solução = solução homogênea
(resolver
) mais uma particular
(resolver com método adequado: coeficientes indeterminados ou variação de constantes). Exemplo especial: sem amortecimento (
) e sem força externa (
) temos o oscilador harmônico:
onde
e as constantes
são fixadas por
e
.
Passo 9
Resumo prático de como proceder numa prova (passo a passo):
- Escreva
. - Identifique de que forma
depende das variáveis (só de , só de , só de , linear, etc.). - Use o método apropriado: integrais diretas se
; energia/integração em se ; separação de variáveis se ; métodos de EDO (característica, coeficientes indeterminados, variação de constantes) se for linear em . - Aplique condições iniciais
para determinar constantes de integração. - Se
for muito geral (dependendo de e ), normalmente só se resolve numericamente ou por métodos qualitativos.
Passo 10
Anote as fórmulas essenciais que você deve ter de cor para a prova (fórmulas que derivamos acima, prontas para usar). Estas são as relações que conectam aceleração, velocidade e posição a partir de
.