Partindo da segunda lei de Newton, obternhas as equações gerais para o movimento de partículas em 1-D, ou seja, posição x(t), velocidade v(t) e aceleração a(t).

Passo 1

O enunciado pede: a partir da segunda lei de Newton, obter as equações gerais do movimento de uma partícula em 1‑D — isto é, as expressões que relacionam posição \,x(t)\,, velocidade \,v(t)\, e aceleração \,a(t)\,.
Informações dadas (implícitas no enunciado): a massa da partícula é \,m, a força resultante sobre a partícula é \,F (que, em geral, pode depender de \,x\,,v e ,t)), e você pode usar condições iniciais típicas \,x(t_0)=x_0 e \,v(t_0)=v_0 quando necessário.
Não há uma forma específica para \,F no enunciado, então precisamos apresentar a formulação geral (e os casos especiais importantes que aparecem em provas).

Passo 2

Escrevendo a segunda lei de Newton em 1‑D e definindo as variáveis.
A segunda lei de Newton diz que a massa vezes a aceleração é igual à força resultante. Em notação:
m\,a(t)=F.
Explicando as variáveis:
\text{onde }m\text{ é a massa (constante, em kg), }a(t)\text{ é a aceleração (m/s}^2\text{),}ééçã
F\text{ é a força resultante (N) que, em geral, pode ser escrita }F=F\big(x(t),v(t),t\big).éç
Relações entre posição, velocidade e aceleração (definições por derivada):
v(t)=\frac{dx}{dt},\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}.
Comentário intuitivo: velocidade é a taxa de variação da posição; aceleração é a taxa de variação da velocidade.

Passo 3

Escrevendo a equação diferencial geral do movimento em 1‑D.
Substituindo a(t)=\dfrac{d^2 x}{dt^2} na segunda lei obtemos a equação diferencial de segunda ordem:
m\frac{d^2 x}{dt^2}=F\big(x(t),v(t),t\big).
Esta é a formulação geral: para achar \,x(t)\, você precisa resolver essa EDO de segunda ordem sabendo qual é \,F. Em muitas provas apresentam casos específicos de \,F; por isso agora vamos transformar essa equação em fórmulas úteis e tratar os casos mais comuns.

Passo 4

Fórmulas integrais gerais (usando condições iniciais).
Partindo da definição de aceleração e integrando, temos a relação entre aceleração e velocidade:
v(t)=v(t_0)+\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds.
Usando a(s)=\dfrac{1}{m}F\big(x(s),v(s),s\big) obtemos a forma integral para a velocidade:
v(t)=v_0+\frac{1}{m}\int_{t_0}^{t} F\big(x(s),v(s),s\big)\,ds,
onde escrevemos v_0=v(t_0). Em seguida, integrando a velocidade encontramos a posição:
x(t)=x(t_0)+\int_{t_0}^{t} v(u)\,du.
Substituindo a expressão integral de v(u) dá a forma dupla integral:
x(t)=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{m}\int_{t_0}^{t}\!\int_{t_0}^{u} F\big(x(s),v(s),s\big)\,ds\,du.
Observação importante: essas expressões são válidas sempre, mas são implícitas quando F depende de x ou v, porque x(s) e v(s) aparecem dentro da integral — neste caso normalmente é necessário resolver a EDO por métodos analíticos (se possível) ou numéricos.

Passo 5

Caso simples 1 — força conhecida como função do tempo: F=F(t).
Se F depende apenas de t, então as integrais acima ficam explícitas porque não há dependência de x ou v dentro da integral. Temos:
a(t)=\frac{F(t)}{m},
v(t)=v_0+\frac{1}{m}\int_{t_0}^{t}F(s)\,ds,
x(t)=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{m}\int_{t_0}^{t}\!\int_{t_0}^{u}F(s)\,ds\,du.
Exemplo muito usado (força constante \,F_0): \,a=\dfrac{F_0}{m} constante, então
v(t)=v_0+a(t-t_0),
x(t)=x_0+v_0(t-t_0)+\tfrac{1}{2}a(t-t_0)^2.
Essas são as fórmulas clássicas de cinemática (úteis na prova).

Passo 6

Caso simples 2 — força depende só da posição: F=F(x) (forças conservativas).
Aqui usamos a regra da cadeia para escrever a aceleração em termos de v e x:
a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}.
Substituindo em m a = F(x) obtemos a equação separável
m\,v\frac{dv}{dx}=F(x).
Integrando em x resulta na forma de conservação de energia mecânica (energia cinética relacionada à força):
\frac{1}{2}m v^2 = \int F(x)\,dx + C.
Usando a constante de integração determinada pela condição inicial v(x_0)=v_0 temos
\frac{1}{2}m v^2(x) = \int_{x_0}^{x} F(\xi)\,d\xi + \tfrac{1}{2}m v_0^2.
Dessa relação obtemos v como função de x, e depois t em função de x por separação:
dt=\frac{dx}{v(x)}\quad\Rightarrow\quad t-t_0=\int_{x_0}^{x}\frac{d\xi}{v(\xi)}.
Na prática: primeiro achar v(x) pela integral da força; depois integrar dx/v(x) para achar t(x) e inverter se necessário para x(t).

Passo 7

Caso simples 3 — força depende só da velocidade: F=F(v).
A equação de movimento fica
m\frac{dv}{dt}=F(v).
Isto é uma EDO de primeira ordem separável:
m\frac{dv}{F(v)}=dt.
Integrando entre v_0 e v(t) obtemos v(t) implicitamente (ou explicitamente se a integral puder ser resolvida). Exemplo clássico: resistência linear ao movimento F=-b v (com b>0):
m\frac{dv}{dt}=-b v \quad\Rightarrow\quad \frac{dv}{v}=-\frac{b}{m}dt,
integrando:
v(t)=v_0 e^{-(b/m)(t-t_0)}.
Depois x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}v(s)\,ds = x_0 + \frac{m}{b}v_0\big(1-e^{-(b/m)(t-t_0)}\big).

Passo 8

Caso geral linear em x e v — equação linear de segunda ordem (muito comum em provas).
Quando a força tem a forma
F(x,v,t)=-k x - c v + f(t),
onde k e c são constantes e f(t) é uma força externa conhecida, a EDO torna‑se linear:
m\frac{d^2 x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + k x = f(t).
Método geral: solução = solução homogênea x_h(t) (resolver m x'' + c x' + k x = 0) mais uma particular x_p(t) (resolver com método adequado: coeficientes indeterminados ou variação de constantes). Exemplo especial: sem amortecimento ( c=0) e sem força externa ( f=0) temos o oscilador harmônico:
m x'' + k x = 0 \quad\Rightarrow\quad x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},
e as constantes A,B são fixadas por x_0 e v_0.

Passo 9

Resumo prático de como proceder numa prova (passo a passo):
  1. Escreva m x''(t)=F\big(x,v,t\big).
  2. Identifique de que forma F depende das variáveis (só de t, só de x, só de v, linear, etc.).
  3. Use o método apropriado: integrais diretas se F=F(t); energia/integração em x se F=F(x); separação de variáveis se F=F(v); métodos de EDO (característica, coeficientes indeterminados, variação de constantes) se for linear em x,v.
  4. Aplique condições iniciais \,x(t_0)=x_0\,,\,v(t_0)=v_0 para determinar constantes de integração.
  5. Se F for muito geral (dependendo de x e v), normalmente só se resolve numericamente ou por métodos qualitativos.

Passo 10

Anote as fórmulas essenciais que você deve ter de cor para a prova (fórmulas que derivamos acima, prontas para usar). Estas são as relações que conectam aceleração, velocidade e posição a partir de F.

Resposta

\displaystyle m\frac{d^2 x}{dt^2}=F\big(x(t),v(t),t\big)
\displaystyle a(t)=\frac{d^2 x}{dt^2}=\frac{1}{m}F\big(x(t),v(t),t\big)
\displaystyle v(t)=v(t_0)+\int_{t_0}^{t}a(s)\,ds=v_0+\frac{1}{m}\int_{t_0}^{t}F\big(x(s),v(s),s\big)\,ds
\displaystyle x(t)=x(t_0)+\int_{t_0}^{t}v(u)\,du=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{m}\int_{t_0}^{t}\!\int_{t_0}^{u}F\big(x(s),v(s),s\big)\,ds\,du

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